导数含参数问题经典

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1、导数含参数问题类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值例1:设函数/(x)=X3+ax2-9x-1(a-<0).若

2、11

3、线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：(I)a的值；(II)函数f(x)的单调区间.解：(I)a=±3,由题设a<0,所以。=一3・(ID*(I)知a=-3,因此f(x)=x3-3x2-9x-1,/'(x)=3兀$—6兀一9=3(兀一3(x+1)4/3=0,解得：x}=-l,x2=3.显Y,-1)时,f(x)>o,故几兀)在(y,-1)上为增函数;当施(-1,3)时，广⑴<0,瞬(兀)在(-1,3)上

4、为减函数；当xw(3,+oo)时，/&)>(),故住)在(3,+00)上为增函数.由此可见,函数几兀)的单调递增区间为(YO,-1)和(3,+00)；单调递减区间为(-1,3).变式训练4设函数/(x)=%44-ax3+2x2+b(xgR),其中a,bwR.(I)当a=-—时，讨论函数/(x)的单调性；(II)若函数/(Q仅在兀=0处有极值，求a的取值范围；(I)解:广(兀)=4兀3+3必2+4兀=兀(4兀2+3ar+4)•当a=~—时，广(兀)二无(4F—10兀+4)=2无(2x—l)(x—2)・令广(x)=0,解得=0,1(\(\兀2=—,兀3=

5、2./(兀)在(),-,(2,4-00)是增函数，在(-OO,0),-,2内是减函数.22丿2>(II)解：广(X)=兀(4『+3处+4)，显然兀=0不是方程4F+3q+4=0的根.为使/(兀)仅在兀=0处有极值，必须4/+3处+4M0恒成立，即有△=9/—64W0.QQ「X解此不等式，得一这时，f(O)=b是唯一极值.a的収值范围是—.33L33」类型二：结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题例2：设d为实数，函数f(x)=x3-x2-x+ao(1)求/(兀)的极值；(2)当。在什么范围内取值时，曲线)，=/(兀)与兀轴仅有一个交点。解：(1)广

6、(兀)=3^—2兀一1,若广(兀)=0,贝ijx=--,l所以/W的极大值是f=2+a,极小值是/⑴=a-1。')//(2)函数f(兀)=兀'一十一X+d=(x-1)2(X+1)+Q—1。由此可知x取足够大的正数吋，有/(x)>0,x収足够小的负数时，有/(x)<0,所以曲线y=f(x)与兀轴至少有一个交点•结合f(兀)的单调性可知:当门兀)的极人值—+6/<0,即00,-2］时，它的极小值也27I27丿因此曲线y=/(x)与x轴仅有一个交点，它在(l,+oo)上；当/(x)的极小值°-1>0时,即aw(l,+oo)上时,它的极大值也小于0,y=/(x

7、)与无轴仅£19变式训练2-已知函数/(x)=-x4+x3-一x2+cx有三个极值点。证明：-270,g(x)在(一卩一3)上为增函数；当-31时，gf(x)>0,g(兀)在

8、(1,+oo)上为增函数,所以g⑴在x=—3时取极大值，在x=1时取极小值。当g(—3)50或g(l)>0时,g(Q=0最多只有两个不同实根。g(x)=0有三个不同实根,所以g(—3)>0且g⑴vO,即一27+27+27+c〉0JI・l+3—9+c<0,解得・c〉一27「冃《<5,故一27<。<5・类型三：含字母时，对判别式进行分类讨论例3：.已知函数/(x)=x3+ax2+x4-1,aeR.(1)讨论函数、f(x)的单调区间；(21、(2)设函数/(兀)在区间-一,-丄内是减函数，求d的取值范围.33丿解：(1)/(x)=x3+ax24-x4-l求导

9、得fx)=3x2+2ax+l当a2<3时，AS。，广(兀)>0,/(兀)在R上递增；当a2>3,广(兀)=0求得两根为—ci+J/_3(—lcr—3)(—a—y/cr—3—ci+Ja?_3、乂=_,即/©)在__±递增，uw__"w__13333//-a-J/_32递减，土#卄递增。⑵.仝33,且6/2>3,解得-d+J/-31>——33变式训练3：设函数/W=x2+/?ln(x+l)^中bHO.(I)当b>-时，判断函数于(兀)在定义域上的单调性;(II)求函数/(%)的极值点；解：(I)函数f(x)=x2+/?ln(x+l)的定义域为(-h+o

10、o).厂(兀)=2兀+匕=2龙2+25x+lX+1g(x)=2x2+2x+/?,