相似三角形的判定及性质.doc

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1、相似三角形的判定及性质。二.重点、难点：1.重点：相似三角形的判定、相似三角形的性质。2.难点：运用相似三角形判定和性质解决实际问题。三.具体内容：1.相似三角形的定义及判定2.相似三角形的性质（1）相似三角形对应角相等；（2）相似三角形对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比；（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方。【典型例题】[例1]如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC＝______度，BC＝_______．（2）判定△ABC与△DE

2、F是否相似？解：①135，2②△ABC与△DEF相似，理由：∵∠ABC＝∠DEF＝135°，＝。点拨：注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断。[例2]如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC。解：∠1＝∠B或∠2＝∠C，或等点拨：结合判定方法补充条件。[例3]（2006年德州市）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y。（1）如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y

3、与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由。解：在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°，∠ABD＝∠ACE＝105°又∠DAE＝105°，∴∠DAB＋∠CAE＝75°。又∠DAB＋∠ADB＝∠ABC＝75°，∴∠CAE＝∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y＝。当α，β满足β－＝90°，y＝仍成立，此时∠DAB＋∠CAE＝β－α，∴∠DAB＋∠ADB＝β－α，∴∠CAE＝∠ADB。又∵∠ABD＝∠

4、ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y＝。点拨：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．[例4]如图7，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M。（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM。解：（1）证明：∵E是AB中点，∴AB＝2BE，AB＝2CD，∴CD＝EB，又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形，∴CB∥DE，∴，∴△EDM∽△FBM．（2）△EDM∽△FBM，∴，∴F是BC中点，DE＝2FB，∴DM＝2BM，∴BM＝DB＝3。[例5]

5、高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图1）（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC＝2.4米，DF＝7.2米，求大树AB的高度。（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m、n……表示，角度用希腊字母α、β表示）；②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）。解：连结AC、EF，（1）∵太阳光线是平行线，∴AC∥EF，∴∠ACB＝∠EFD。∵∠ABC＝∠EDF＝90°，∴△ABC

6、∽△EDF，∴，∴，∴AB＝4.2。（2）方法一如图，MG＝BN＝m。AG＝mtanα∴AB＝（mtanα＋h）米。（方法二）∴AG＝，∴AB＝＋h或AB＝＋h。[例6]某市经济开发区建有三个食品加工厂，这三个工厂和开发区处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且米，米。自来水公司已经修好一条自来水主管道两厂之间的公路与自来水管道交于处，米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来

7、水管道的最低的造价各是多少元？解：（1）过分别作的垂线段，交于，即为所求的造价最低的管道路线。图形如图所示。（2）（法一）（米），＝1500（米），∵∽，得到：。∴（米）。∵∽，得到。∴（米）。∵∽，∴。∴（米）。所以，三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576000（元），300×800＝240000（元），1020×800＝816000（元）。[例7]如图，在矩形中，，．直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点。我们知道，结论“”成立。（1）当时，求的长；（2）是否存在这样的点，使的周长

8、等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。我选做的是_____________________。解：（1）在中，由，得，，由知，。（2）假设存在满足条件的点，设，则，由知，，解得，