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时间:2020-06-10
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1、差分方程常用解法1、常系数线性差分方程的解 方程 (1) 其中为常数,称方程(1)为常系数线性方程。 又称方程 (2) 为方程(1)对应的齐次方程。 如果(2)有形如的解,代入方程中可得: (3) 称方程(3)为方程(1)、(2)的特征方程。 显然,如果能求出方程(3)的根,则可以得到方程(2)的解。 基本结果如下:(1) 若(3)有k个不同的实根,则(2
2、)有通解: ,(2) 若(3)有m重根(即m个根均为),则通解中有构成项: (3)若(3)有一对单复根 ,令:,,则(2)的通解中有构成项: (4)若有m重复根:,,则(2)的通项中有构成项: 综上所述,由于方程(3)恰有k个根,从而构成方程(2)的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为: 如果能得到方程(1)的一个特解:,则(1)必有通解:
3、 + (4) 方程(4) 的特解可通过待定系数法来确定。 例如:如果为n的m次多项式,则当b不是特征根时,可设成形如形式的特解,其中为n的m次多项式;如果b是r重特征根时,可设特解:,将其代入(1)中确定出系数即可。2、差分方程的z变换解法(复变函数和几分变换) 对差分方程两边关于取Z变换,利用的Z变换F(z)来表示出的Z变换,然后通过解代数方程求出F(z),并把F(z)在z=0的解析圆环
4、域中展开成洛朗级数,其系数就是所要求的例1 设差分方程,求 解:解法1:特征方程为,有根: 故:为方程的解。 由条件得:解法2:设F(z)=Z(),方程两边取变换可得: 由条件得 由F(z)在中解析,有 所以,3、二阶线性差分方程组设,,形成向量方程组 (5)则
5、 (6) (6)即为(5)的解。 为了具体求出解(6),需要求出,这可以用线性代数的方法计算。常用的方法有: (1)如果A为正规矩阵,则A必可相似于对角矩阵,对角线上的元素就是A的特征值,相似变换矩阵由A的特征向量构成:。 (2)将A分解成为列向量,则有 从而,(3) 或者将A相似于约旦标准形的形式,通过讨论A的特征值的性态,找出的内在构造规
6、律,进而分析解 的变化规律,获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果(1)k阶常系数线性差分方程(1)的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程(3)所有的特征根满足 (2)一阶非线性差分方程 (7) (7)的平衡点由方程决定, 将在点处展开为泰勒形式:
7、 (8) 故有:时,(7)的解是稳定的, 时,方程(7)的平衡点是不稳定的。
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