差分方程的解法

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1、第三节            差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解       方程            （8）  其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。     又称方程        （9）   为方程（8）对应的齐次方程。   如果（9）有形如的解，带入方程中可得：                             （10）      称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。  显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。                 基本结果如下：（1）    若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：          

2、          ，（2）    若（10）有m重根，则通解中有构成项：                              （3）若（10）有一对单复根  ，令：，，则（9）的通解中有构成项：          （4）若有m重复根：，，则（9）的通项中有成项：          综上所述，由于方程（10）恰有k个根，从而构成方程    （9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：       如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解：                               +                            （11） （1）

3、   的特解可通过待定系数法来确定。      例如：如果为n的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。2、差分方程的z变换解法       对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的例1       设差分方程，求 解：解法1：特征方程为，有根：             故：为方程的解。          由条件得：解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：         

4、由条件得 由F（z）在中解析，有          所以，3、二阶线性差分方程组设，，形成向量方程组                                                   （12）则                                               （13）    （13）即为（12）的解。       为了具体求出解（13），需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：        （1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。         （2）将A分解成

5、为列向量，则有                                    从而，（3）   或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出的内在构造规律，进而分析解 的变化规律，获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的特征根满足        （2）一阶非线性差分方程                                                                  （14）             （14）的平衡点由方程决定，      

6、  将在点处展开为泰勒形式：                                              （15）    故有：时，（14）的解是稳定的，                时，方程（14）的平衡点是不稳定的。