例说数学思想方法对寻求解题思路的作用

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1、例说数学思想方法对寻求解题思路的作用陕西省蓝田县玉山中学练刚710504数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍应用的现实意义，同时也是历年高考的重点。而数学的学习最终目的就是要解决数学问题。因此,数学问题的解决就是需要我们去寻求最佳思维方式。本文就自己在教学过程中应用数学思想方法解决实际问题加以说明：问题：若方程2a·9sinx+4a·3sinx+a-8=0有解，则实数a的取值范围是什么？分析：拿到该题我们首先可以将其转化为2a·(3sinx)2+4a·3sinx+a-8=0,由-1≤sinx≤1得到≤3sinx≤3令t=3s

2、inx，则t∈[,3]则原问题进一步转化为方程2a·t2+4a·t+a-8=0在t∈[,3]时有解，求实数a的取值范围的问题。方法一：通过这一次换元之后，可以看出问题可转化为方程在t∈[,3]内有解，属于二次方程根的分布问题。由方程可得2a(t+1)2-a-8=0对称轴t=-1.因此在t∈[,3]内方程有且只有一个实根（如图1所示）满足其的充要条件为：-3-f()·f(3)≤0即(23a-72)(31a-8)≤0解得≤a≤所以得a的范围为a∈[,].总结：此法是将原问题转化为二次方程根的分布问题，然后结合二次函数的图像来处理，简洁明了，最后只需解一个不等式即可。方法二：对

3、方程进行变形，整理为一个a关于t的函数。即可化为函数a=，当t∈[,3]时，求函数a的值域的问题。当t∈[,3]时,f()≤2t2+4t+1≤f(3)即≤2t2+4t+1≤31≤≤即≤a≤所以的取值范围是a∈[,]。总结：此法运用函数与方程的思想。将参数a分离出来，将其看作a关于t的函数。原题可转化为知某函数定义域求其值域的常规问题。方法三：由原式可知a0（因为a=0时方程不成立）-3-所以由式可变为t2+2t+=(≤t≤3)问题转化为求a的取值范围使抛物线y=f(t)=t2+2t+t∈[,3]与直线y=有公共点的问题。在同一坐标系中分别作出抛物线y=f(t)=t2+2t

4、+t∈[,3]和直线y=（如图2所示）。显然当且仅当直线y=在y=到y=之间时直线与抛物线有交点。即≤≤所以≤a≤时，直线y=与抛物线y=t2+2t+t∈[,3]有交点，即原方程有解。总结：此法是利用数形结合的数学思想将原方程有解的问题转化为两支曲线有公共点的问题。利用数形结合的方法直观。应注意的是此处a看做常量，因此y=是与x轴平行的直线。通过以上习题的解析，可以看出它都是运用基本的转换与化归、函数与方程、数形结合等数学思想方法。数学教育家波利亚曾说过：“解析的成功，要靠正确的思路选择。”-3-因此我们在解决数学问题时，只有注意运用数学思想方法，才能将数学知识与技能转化

5、为分解问题和解决问题的能力，才能充分体现数学的学科特点，才能形成一种数学的素养。图1图2-3-