解的存在唯一性与逐步逼近法.ppt

《解的存在唯一性与逐步逼近法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、常微分方程广东金融学院应用数学系主讲：严建平信息与计算科学教研室定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程§3.1解的存在唯一性定理和逐步逼近法/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/概念和定义存在唯一性定理内容提要/ConstantAbstract/本节要求/Requirements/掌握逐步逼近方法的本思想深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论一、概念与定义/

2、ConceptandDefinition/1.一阶方程的初值问题(Cauchyproblem)表示2.利普希兹条件函数称为在矩形域:…………(3.1.5)关于y满足利普希兹(Lipschitz)条件，如果存在常数L>0使得不等式对所有都成立。L称为利普希兹常数。二、存在唯一性定理定理1如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解定义在区间,且满足初始条件这里定理1的证明需要证明五个命题：命题1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程命题2构造一个连续的逐步

3、逼近序列命题3证明此逐步逼近序列一致收敛命题4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解命题5证明唯一性定理1的证明命题1设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……(3.1.6)的定义于上的连续解。证明:微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。证明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是积分方程在上的连续解.反之，如果是(3.1.6)的连续解，则有：………(3.1.8)微分之，得到:又把代

4、入(3.1.8)，得到:因此，是方程(3.1.1)定义于上，且满足初始条件(3.1.2)的解。命题1证毕.同理，可证在也成立。现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:xyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h命题2对于所有的(3.1.9)中函数在上有定义、连续，即满足不等式:证明:（只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）当n=1时,即命题2当n=1时成立。现在用数学归纳法证明对于任何正整数n，命题2都成立。即当n=k时，在也就是满足不等式在上有定义,连续上有定义，连续，而当n=k+1时，

5、上有定义，连续。在即命题２在n=k＋１时也成立。由数学归纳法得知命题２对于所有n均成立。命题３在上是一致收敛的。命题２证毕函数序列考虑级数:它的部分和为：为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:设对于正整数n,不等式成立，于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数k，有如下的估计:由此可知，当时(3.1.14)的右端是正项收敛级数的一般项，由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11)在上一致收敛,因而序列也在上一致收敛。命题3证毕则也在又可知现设上连续，

6、且由(3.1.10)命题4是积分方程(3.1.6)的定义于证明:由利普希兹条件以及在上一致收敛于上的连续解。因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:即即知序列在一致收敛这就是说,是积分方程(3.1.16)的定义于上的连续解。命题4证毕命题5也是积分方程(3.1.6)的定义于上的一个连续解,则证明若首先证明也是序列的一致收敛极限函数。为此，从进行如下的估计现设则有有故由数学归纳法得知对于所有的正整数n，有下面的估计式因此，在上有:是收敛级数的公项,故时因而在上一致收敛于根据极限的唯一性，即得:命题5证毕综合命

7、题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。例求初值问题的第三次近似解。附注/Remark/1）如果在R上存在且连续,则f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件，反之不成立。证在R上连续，则在R上有界，记为L由中值定理故f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。这条件是充分条件，而非必要条件。例1R为中心在原点的矩形域但故f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。在R上存在且有界f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。在R上存在且无界f(x,y)在R上关于y不满足利普希兹条件。2)定理1中的两个条件是保证Cau

8、chyP存在唯一的充分条件，而非必要条件。例2当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y)在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一例3当Lipscitz条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y)在(x,0)的任何邻域内不满足Lipscitz条件，但解存在唯一不可能有界xy例4设方程(3.1)为线性方程则当P(x),Q(x)在区间上连续，则由任一初值所确定的解在整个区间上都存在。3）若f(x,y)在带域