正弦定理余弦定理应用举例（距离）（高度）（角度）解析.ppt

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1、1.2正弦定理余弦定理应用举例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量:①距离问题、②高度问题、③角度问题、④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）水平线视线视线仰角俯角2.方向角、方位角。（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成

2、的角叫方位角。东西北南600300450200ABCD点A在北偏东600，方位角600.点B在北偏西300，方位角3300.点C在南偏西450，方位角2250.点D在南偏东200，方位角1600.3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离垂直距离坡面距离坡度（坡度比）i:垂直距离/水平距离坡角α:tanα=垂直距离/水平距离α要测量不可到达的两点间的距离,可用哪些方法?如图:设A、B两点在河的两岸，怎样测量两点之间的距离?AB方案一:构造直角三角形AB在河岸的一侧取一点C,使得AC⊥BCC若能测得AC的长及∠BAC,那么AB即可求出此方案有缺陷吗?如图,设A,B两点

3、在河的两岸.需要测量A,B两点间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测出AC=55米,求A,B两点间的距离.∠BAC=45°,题型分类深度剖析题型一与距离有关的问题如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。..AB..DC基线要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.【例2】解如图所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在

4、△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得练习1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是。ACB10海里60°75°答：海里解：应用正弦定理，C=45BC/sin60=10/sin45BC=10sin60/sin45解：如图，在△ABC中由余弦定理得：A我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB∴我

5、舰的追击速度为14nmile/h【例3】又在△ABC中由正弦定理得：≈0.6186B≈38013’故我舰行的方向为北偏东11047’A我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB求距离问题要注意：（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)阅读课本第11页和第12页的例1,例2的距离测

6、量方法.AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物

7、高度AB的方法题型二与高度有关的问题练习1如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为.例2.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°,则塔高为多少米解析作出示意图如图，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠O