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1、第六章线性空间§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和主要内容基变换第四节基变换与坐标变换坐标变换公式举例向量的形式意义及运算我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变
2、，向量的坐标是如何变化的.2）一、向量的形式意义及运算3）1）若有两组向量为V中的一组向量，记作，称之为向量矩阵,给出定义：定义1V为数域P上的n维线性空间，1.定义4）V为数域P上的n维线性空间， 为V中的一组向量，，若则记作则记作5）V为数域P上n维线性空间，；为V中的两组向量，若1)若线性无关，则2.运算规律2)； 为V中的两组向量，矩阵，则；；；若线性无关，则二、基变换为V中的一组线性无关向量，而引理V为数域P上的n维线性空间，则线性无关1.定义定义2设1,2,…,n与1,2,…,n是n维线性空间V中两组
3、基，它们的关系是称(1)为基变换公式.2.基变换公式的矩阵形式为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.把基写成一个1n矩阵，于是(1)可写成如下矩阵形式：矩阵称为由基1,2,…,n到1,2,…,n的过渡矩阵.由于1,2,…,n是线性无关的，所以过渡矩阵A的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵A是可逆的.注意:1)基变换公式的矩阵形式是“形式的”.因为在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的.2)过渡矩阵A的第j列(a1j,a2j,…,anj),就是第二组基向量
4、j在第一组1,2,…,n下的坐标.3）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．4）若由基 过渡矩阵为A,则由基 过渡矩阵为A-1.5）若由基 过渡矩阵为A,由基 过渡矩阵为B，则由基 过渡矩阵为AB.3.运算规律设1,2,…,n和1,2,…,n是V中两个向量组，A=(aij),B=(bij)是两个nn矩阵，则1)((1,2,…,n)A)B=(1,2,…,n)(AB)2)(1,
5、2,…,n)A+(1,2,…,n)B=(1,2,…,n)(A+B)；3)(1,2,…,n)A+(1,2,…,n)A=(1+1,2+2,…,n+n)A.定理2设Vn中的元素,在基1,2,…,n系式(1),则有坐标变换公式下的坐标为(x1,x2,…,xn)T.下的坐标为(x1,x2,…,xn)T,在基1,2,…,n若两个基满足关三、坐标变换公式证明：因由于线性无关,故即有关系式(2).证毕换公式(1).两种坐标满足坐标变换公式(2),则两个基满足变这个定理的逆命题也成立.即若任一元素的过
6、渡矩阵的求法下坐标，得到A的第j列(a1j,a2j,…,anj),可得到过渡矩阵A.方法1：求出j（j=1,2,…,n）在旧基1,2,…,n如：求基1,2,3在基2,3，1下的过渡矩阵.方法2：直接利用矩阵来计算.方法3：利用矩阵的初等变换计算.方法4：利用单位基计算.例1在R2中旋转变换四、举例例2在Pn中，求由基到基过渡矩阵．其中解：∵的过渡矩阵及由基到基的并求向量在基下的坐标.而，∴到基由基的过渡矩阵为故，由基到基的过渡矩阵为在基 下的坐标就是设 在基 下的坐标为 ，则所以 在基 下的
7、坐标为例3在P[x]4中取两个基及求由基1,2,…,n到1,2,…,n的过渡矩阵和坐标变换公式.解将1,2,3,4用1,2,3,4表示.其中由得故过渡矩阵为A-1B，坐标变换公式为用矩阵的初等变换求B-1A:行变换中的B变成E,则A即变成B-1A.计算如下:把矩阵(B
8、A)即得例4在P3中求向量在基下的坐标.解求向量在基1,2,3下的坐标,即阵即得.矩阵A实施初等行变换,使之成为行最简形矩换来求解:先构造矩阵A=(1,2,3,),再对用基1,2,3表示向量.用矩阵的初等行变行变换所以则所求坐标为
9、小结1.向量形式定义2.基变换3.坐标变换在P4中，求由基到基的过渡矩阵，其中练习解：设则有或，从而有∴由基到基的过渡矩阵为已知 的两
