2017届高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.7.1 证明平行与垂直课件 理.ppt

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1、第七章立体几何第七节　立体几何中的空间向量方法基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。J基础知识自主学习1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量。(2)平面的法向量可利用方程组求出

2、：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为____________非零2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔_________。(2)设直线l的方向向量为ν，与平面α共面的两个不共线向量ν1和ν2，则l∥α或lα⇔_____________________________。(3)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l∥α或lα⇔。(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔。ν1∥ν2存在两个实数x，y，

3、使ν＝xν1＋yν2ν⊥uu1∥u23．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1⊥l2⇔_________⇔___________。(2)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔____。(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔________⇔__________。ν1⊥ν2ν1·ν2＝0ν∥uu1⊥u2u1·u2＝04．夹角的计算(1)直线间的夹角①两直线的夹角：当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在__________内的角叫作两直线的夹角。

4、②异面直线的夹角：当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角。直线l1和直线AB设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则0<〈s1，s2〉<π〈s1，s2〉〈s1，s2〉(2)直线与平面的夹角平面外一条直线与它的夹角叫作该直线与此平面的夹角。设直线l的方向向量为s，平面π的法向量为n，直线l与平面π的夹角为θ，则sinθ＝

5、cos〈s，n〉

6、＝__________。在该平面内的投影(3)平面间的夹角如图所示，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，

7、过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R。我们把叫作平面π1与π2的夹角。直线l1和l2的夹角〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉5．距离的计算(1)点到直线的距离空间一点A到直线l的距离的算法框图如图：(2)平行直线间的距离求平行直线间的距离通常转化为求。(3)点到平面的距离空间一点A到平面π的距离的算法框图如图：点到直线的距离[判一判](1)直线的方向向量是唯一确定的。(　　)解析错误。直线的方向向量有无穷多个，不是唯一确定的。(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为ν1＝(1,0，－1)，

8、ν2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行。(　　)解析正确。因为ν2＝－2ν1，所以ν1与ν2共线，所以l1与l2的位置关系是平行。×√√(4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1⊥n2⇔α⊥β。(　　)解析正确。根据法向量的概念可知，当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面也互相垂直。(5)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角。(　　)解析错误。两直线的方向向量的夹角与这两条直线所成的角相等或互补。(6)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角。(　　)解析错误。若直线的方向向量和平面的法向量

9、的夹角为θ，直线与平面的夹角为α，则sinα＝

10、cosθ

11、。√××(7)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角。(　　)解析错误。两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角。×√解析∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)∴n＝－2a，即a∥n。∴l⊥α。答案B3．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)A．4B．2C．3D．14．已知平面α和β的法向量分别是(－1,3,4)和(x,1，－2)，若α⊥β，则x＝_______

12、_。解析因为α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此(－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即x＝－5。－55．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值