高等应用数学（第2版）教学课件作者王富彬d8-3全微分.ppt

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1、二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分近似计算机动目录上页下页返回结束本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D内的点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回

2、结束偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有机动目录上页下页返回结束反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束所以函数在点可微.机动目录上页下页返回结束注意到,故有推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为于是机动目

3、录上页下页返回结束例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:机动目录上页下页返回结束可知当二、全微分在数值计算中的应用近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动目录上页下页返回结束(可用于近似计算)半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.机动目录上页下页返回结束求此圆柱体例4.计算的近似值.解:设,则取则机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返

4、回结束3.微分应用•近似计算机动目录上页下页返回结束课外作业:P171.1，2（1）（3），4思考与练习函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.1.选择题机动目录上页下页返回结束2.设解:利用轮换对称性,可得机动目录上页下页返回结束(L.P245例2)注意:x,y,z具有轮换对称性答案:3.已知第四节目录上页下页返回结束