线性代数教学课件作者刘金旺2矩阵.ppt

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1、第二章矩阵第一节　矩阵的定义第二节　矩阵的运算第三节　矩阵的逆第四节　矩阵的分块§1矩阵的定义返回上一页下一页昌达公司生产甲、乙、丙三种产品，它们的生产成本由原材料费、电力费用、人工费用和其它费用四项构成。表1.1给出了每种产品的每项费用的预算(单位:百元).表1.1甲乙丙1.原材料2.电力3.人工4.其他费用2073230126320852产品生产成本定义1给出mn个数,按一定顺序排成一个m行n列的矩形数表此数表叫做m行n列矩阵,简称mn矩阵。记为返回上一页下一页如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就称A为实(复)矩阵。只有一行的矩阵A=(a1a2...an)叫做行矩阵,行矩阵一般

2、记作A=(a1,a2,...,an)。只有一列的矩阵叫做列矩阵。两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩阵。元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O.下一页上一页返回在矩阵A中，如果m=n，就称A为n阶方阵。方阵叫做n阶单位阵,简记作En。特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素都是1,其他元素都是0.下一页上一页返回如变量y1,y2,...,yn可由变量x1,x2,...,xn线性表示,即称由变量x1,x2,...,xn到变量y1,y2,...,ym的变换为线性变换。它的系数构成一矩阵(aij)mn(称为系数矩阵)是确定的;下一页上一页返回反之，如果给出了一个矩阵是线性变换的

3、系数矩阵，则线性变换也就确定了。例线性变换对应n阶矩阵这个方阵的特点:不在主对角线上的元素全为0,这种方阵称为对角矩阵,当1=2=...=n=时,A称为数量矩阵。下一页上一页返回§2矩阵的运算一、矩阵的加法定义2设有两个mn矩阵A=(aij),B=(bij),那么A与B的和记为A+B,规定为注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。加法满足运算规律:(1)A+B=B+A;(交换律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(结合律)下一页上一页返回二、数与矩阵相乘定义3数与矩阵A的乘积记做A,规定为数乘矩阵满足运算规律:下一页上一页返回设矩阵A=(aij),记-A=(-1)A

4、=(-1aij)=(-aij),-A称为A的负矩阵,显然有A+(-A)=O.其中O为各元素均为0的同型矩阵（零矩阵）,由此规定A-B=A+(-B).下一页上一页返回三、矩阵与矩阵相乘定义4设A=(aij)ms,B=(bij)sn那么规定矩阵A与B的乘积是C=(cij)mn,其中并把此乘积记作C=AB。行矩阵与列矩阵相乘注意：只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。下一页返回上一页例求：AB和BA。解：注：表明矩阵乘法不满足交换律。AB＝0推不出A＝0或B＝0AC＝BC且C不为0,推不出A=B(不满足消去律)下一页上一页返回例设A,B分别是n×

5、1和1×n矩阵，且计算AB和BA.解下一页上一页返回例如果是一齐次线性方程组的系数矩阵，而分别是两个n×1矩阵，那么该齐次线性方程组就可以写成矩阵的形式下一页上一页返回矩阵的乘法满足运算律：对于单位矩阵，有一般称为方阵的n次幂。规定；下一页上一页返回方阵乘幂的应用例某岛国里每年有30℅的农村居民移居城市,有20℅的城市居民移居农村.假设该国总人数不变,且上述人口迁移规律也不变.该国现有农村人口320万,城市人口80万.问该国一年后农村与城市人口各是多少?两年后呢?解设k年后该国农村人口与城市人口分别为和(单位:万),这里正整数下面计算和.由题意有下一页上一页返回写成矩阵形式,即一年后,农村

6、人口240万,城市人口160万.记矩阵则下一页上一页返回于是即2年后,农村人口与城市人口各为200万.类似地,不难得出下一页上一页返回例解用数学归纳法证明。当n=2时下一页上一页返回假设当k＝n－1时成立，现证明k＝n时也成立。下一页上一页返回例已知矩阵求解∵∴∴下一页上一页返回四、矩阵的转置定义5把矩阵A的行换成同序数的列,得到的新矩阵称为A的转置矩阵,记作A'。满足运算律：下一页上一页返回有所以下一页上一页返回设A为n阶方阵,若A'=A,即aij=aji(i,j=1,2,…,n),那么,A称为对称矩阵;若A'=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,…,n),那么,A称为反对称矩阵。

7、对称矩阵的特点:它的元素以主对角线为对称轴对应相等。反对称矩阵的特点:以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符号相反,且主对角线上各元素均为0.下一页上一页返回运算律(4)可推广为:例设那么下一页上一页返回例设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶反对称矩阵.所以结论成立.证因为下一页上一页返回例若A为奇数阶反对称矩阵，求其行列式的值。解：设下一页上一页返回因为n为奇数，得即奇数阶反对称矩阵行列式为