线性代数(复旦修订版)刘金旺2矩阵

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1、第二章矩阵第一节　矩阵的定义第二节　矩阵的运算第三节　矩阵的逆第四节　矩阵的分块第五节　矩阵的初等变换与初等矩阵第六节　初等变换求逆矩阵第七节　矩阵的秩§1矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间

2、交通联接的情况.其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．线性方程组的系数可以排成行列的数表：二、矩阵的定义这种数表即称为矩阵。定义1：由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记作简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式行

3、数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O.例如：三、特殊的矩阵形如的方阵称为对角阵．特别的，方阵称为单位阵．记作记作．特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素都是1,其他元素都是0。同型矩阵与矩阵相等的概念两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记作A=B.注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如表示一个从变量到变量线性变换，其中为常数.它的系数构成一矩阵(aij

4、)mn(称为系数矩阵）是确定的。四、矩阵与线性变换n个变量与m个变量之间的关系式系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.例线性变换称为恒等变换.对应单位阵En这个方阵的特点:不在对角线上的元素全为0,这种方阵称为对角阵,当1=2=...=n=时,A称为数量矩阵。对应投影变换例2阶方阵对应以原点为中心逆时针旋转j角的旋转变换例2阶方阵例线性变换对应n阶矩阵这个方阵的特点:不在对角线上的元素全为0,这种方阵称为对角阵,当1=2=...=n=时,A称为数量矩阵。下一页上一页返回§2矩阵的运算例某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物

5、的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij表示上半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．其中cij表示工厂下半年向第i家商店发送第j种货物的数量．解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法定义2设有两个mn矩阵A=(aij),B=(bij),那么A与B的和记为A+B,规定为注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。加法满足运算规律:(1)A+B=B+A;(交换律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(结合律)下一页上一页返回矩阵作为数表本身无运算含义，为使矩阵有广泛的应用。应赋予它某些运算。知识点比较交换律结合律其他

6、矩阵加法的运算规律设A、B、C是同型矩阵设矩阵A=(aij)，记－A=(－aij)，称为矩阵A的负矩阵．显然设工厂向某家商店发送四种货物各l件，试求：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．解：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．二、数与矩阵相乘定义3数与矩阵A的乘积记做A,规定为数乘矩阵满足运算规律:下一页上一页返回设矩阵A=(aij),记-A=(-1)A=(-1aij)=(-

7、aij),-A称为A的负矩阵,显然有A+(-A)=O.其中O为各元素均为0的同型矩阵,由此规定A-B=A+(-B).下一页上一页返回结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设A、B是同型矩阵，l,m是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.知识点比较其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．解：以ci1，ci2分别表示工厂向第i家商店