高次函数的次求值.doc

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1、高次函数的降次求值　　在导数问题中，有时涉及到高次函数的函数值，若直接代入求解运算比较复杂，我们可以对函数进行降成一次，然后再研究函数值。以下就两个高考试题对此方法作一个说明。例1、【2013·新课标I·理16】若函数=的图像关于直线对称，则的最大值是______.【分析】【解析一】因为，函数是连续可导函数，且关于直线对称，由四次函数的图象特征可知，是函数的一个极值点，所以，即，可得，　①又因为，所以，　②①②联立方程组可得。，因为是函数的一个极值点，所以，当时，，当时，，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递减，故当=和=时取极大值，=求、的计算技巧：因为与是的

2、根，所以。【解析二】由图像关于直线对称，则=，=，解得，　　以下同解析一。例2、【2014·课标·文21】已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.（I）求；（II）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.【解析一】（I）=，.曲线在点（0,2）处的切线方程为。由题设得，所以a=1.（Ⅱ）由（I）知，设由题设知.当≤0时，，单调递增，，所以=0在有唯一实根。当时，令，则。，在单调递减，在单调递增，所以所以在没有实根.综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。【解析二】（I）同解析一。（II）由（I）知，要求曲线与直线只有一个交点，即要求方程有且只有一个根。令，则

3、要求有且只有一个零点。，，（1）当即，在上恒成立，则在上为增函数，由三次函数的图象可知，有且只有一个零点。（2）当即时，令，且，当时，，时，，则在，上是增函数，在上是减函数，由三次函数的图象可知，要使命题成立，只须即可。，又，令，，则，即，所以有且只有一个零点。综合（1）、（2）得有且只有一个零点。即曲线与直线只有一个交点。