专谈数学中恒字.doc

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1、专谈数学中的“恒”字湖北省巴东县第二高级中学张群立444324数学中的“恒”字主要表现在两个方面：一、等式恒成立；二、不等式恒成立。在数学中，恒成立即在定义域内，无论变量取任意实数，等式或不等式永远成立。解决等式恒成立的主要思路：将其等式两边分别化简整理，使其形式一致，只需两边对应项的系数相等即可。如等式ax2+bx+c=dx2+ex+f恒成立a=d，b=e,c=f或转化为（a-d）x2+(b-e)x+(c-f)=0恒成立a-d=0,b-e=0,c-f=0。解决不等式恒成立的主要思路：1、分离系数法。即将所求待定字母分离出

2、来，从而转化为求函数的最值，即转化为：a>f(x)或a

3、)=-f(x)恒成立，即（a-8）x4+2（-x）3+(b-2)x2+3（-x）=（8-a）x4-2x3-(b-2)x2-3x恒成立，整理得，（a-8）x4-2x3+(b-2)x2-3x=（8-a）x4-2x3-(b-2)x2-3x恒成立，即a-8=8-a,b-2=2-b成立即可，所以a=8,b=2,所以logab=。解析二：由题意可知，f(-x)=-f(x)恒成立，即（a-8）x4+2（-x）3+(b-2)x2+3（-x）=（8-a）x4-2x3-(b-2)x2-3x恒成立，整理得，（2a-16）x4+(2b-4)x2=

4、0恒成立，所以2a-16=0，2b-4=0，所以，a=8,b=2,所以logab=。例2若函数f(x)=sin(x+)是偶函数，求的值。解析：由题意可知，f(-x)=f(x)恒成立，即sin(-x+)=sin(x+)恒成立，整理得-sinxcos+cosxsin=sinxcos+cosxsin恒成立，即-cos=cos,得cos=0,所以=k，kZ。例3求函数y=

5、sinx

6、+

7、cosx

8、的最小正周期。解析：令y=f(x)=

9、sinx

10、+

11、cosx

12、的周期为T，则f(x+T)=f(x)恒成立，即

13、sin（x+T）

14、+

15、co

16、s(x+T)

17、=

18、sinx

19、+

20、cosx

21、恒成立，两边平方得

22、sin（2x+2T）

23、=

24、sin2x

25、,两边平方得sin2（2x+2T）=sin22x，降次得cos(4x+4T)=cos4x，整理得cos4xcos4T-sin4xsin4T=cos4x恒成立，即cos4T=1，sin4T=0，所以4T=2k,得T=，kZ。所以函数y=

26、sinx

27、+

28、cosx

29、的周期为，kZ，最小正周期为。二、不等式恒成立例4设实数x、y满足x2+(y-1)2=1，若对满足条件的x、y使得x+y+c≥0恒成立，求c的取值范围。解析：从已知x2

30、+(y-1)2=1入手，可联想到三角代换。令x=cos，y=1+sin，〔0，2〕，采用分离系数法，可把x+y+c≥0恒成立转化为c≥-（x+y）恒成立，即c≥-（x+y）=-（sin+cos）-1=--1恒成立，只需求出f()=--1的最大值即可。显然f()的最大值为--1，所以当c≥--1时，x+y+c≥0恒成立。例5设a>b>c且恒成立，则n的最大值为_________________。解析：因为a>b>c，所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,则“”恒成立可转化为n恒成立。只需求的最小值即可。又==+2≥4，当时

31、，“=”成立，即的最小值为4.所以n的最大值为4.例6不等式（a-3）x2<(4a-2)x对于a(0,1)恒成立，求x的取值范围。解析：由题意知，将其转化为关于a的一元一次不等式，问题就简单了。整理得关于a的不等式（x2-4x）a+(2x-3x2)<0.记f(a)=（x2-4x）a+(2x-3x2),此题等价于f(a)=（x2-4x）a+(2x-3x2)<0在a(0,1)上恒成立f(0)0,f(1)0.解得x-1或x≥。例7已知向量,

32、

33、=1,对任意实数t，恒有

34、

35、≥

36、

37、,则=____.解析：

38、

39、≥

40、

41、恒成立（）2≥（）2

42、，可将其转化为关于t的不等式t2-2()t+2-1≥0，记f(t)=t2-2()t+2-1,由二次函数的相关知识可得f(t)=t2-2()t+2-1≥0在tR上恒成立0，又=[2()]2-4(2-1)0,整理得=1.例8设f(x)=x2-2ax+2,当x≥-1时，f(x)>a恒成立，求a的取值范围。解析