2016年全国高中数学联合竞赛一试二试解答(A卷).pdf

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1、2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．31.设实数a满足aaaa<−<911，则a的取值范围是．2310答案：a∈−

2、,−．33解：由aa<可得a<0，原不等式可变形为39aa−11a11>>=−，aa221042310即−<19a−<111，所以a∈,．又a<0，故a∈−,−．93332.设复数zw,满足z3,zwzw74i，其中i是虚数单位，zw,分别表示zw,的共轭复数，则zwzw22的模为．答案：65．222解：由运算性质，74izwzwzwzwzw，因为z与222w为实数，Rezwzw0，故zw7,zwzw4i，又

3、z3，所以2w2．从而22z2wz2wz4w2zwzw988i18i．22因此，zwzw22的模为1865．3.正实数uvw,,均不等于1，若logvwlogw5，loguvlog3，则uvvwlogu的值为．w4答案：．5解：令logva,logwb，则uv11loguv,log，logvwlogvlogvlogwaab，vwuuuvab115条件化为aabb5,3，由此可得ab．因此ab414loguvuloglog

4、．wwvab54.袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值1之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为．9答案：．35解：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而ab<≤+=5510．故只能从A中取走两张1元2纸币，相应的取法数为C3=．又此时ba>=2，即从B中取走的两张纸币不能322都是1元纸币，相应有C−=C18种取法．因此，所求的概率为73318×549==．22C×

5、×C102135575.设P为一圆锥的顶点，ABC,,是其底面圆周上的三点，满足ABC90，M为AP的中点．若AB1,AC2,AP2，则二面角MBCA的大小为．2答案：arctan．3解：由ABC90知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则PO平面ABC．易知122AOAC1，进而POAPAO1．2设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作HKBC于点K，则由三垂线定理知MKBC，从而MKH为二面角MBCA的平面角．1HKHC33因MHAH，结合HK与AB平行

6、知，，即HK，2ABAC44MH22这样tanMKH．故二面角MBCA的大小为arctan．HK3344kxkx6.设函数fx()sincos，其中k是一个正整数．若对任意实数a，1010均有fxaxa()1fxx()R，则k的最小值为．答案：16．22kx2kx22kxkx解：由条件知，fx()sincos2sincos1010101012kx123kx1sincos，254545m其中当且仅当xm()Z时，fx()取到最大值．根据条件知，

7、任意一个长k5为1的开区间(,aa1)至少包含一个最大值点，从而1，即k5．k反之，当k5时，任意一个开区间(,aa1)均包含fx()的一个完整周期，此时fxaxa()1fxx()R成立．综上可知，正整数k的最小值为5116．222y7.双曲线C的方程为x1，左、右焦点分别为F、F．过点F作一1223直线与双曲线C的右半支交于点PQ,，使得FPQ90，则FPQ的内切圆11半径是．答案：71．解：由双曲线的性质知，FF2134，12PFPFQFQF

8、2．1212222因FPQ90，故PFPFFF，因此11212222PFPF2(PFPF)(PFPF)1212122224227．从而直角FPQ的内切圆半径是1111r(FPPQFQ)(PFPF)(QFQF)71．1112122228.设aaaa,,,是1,2,,100中的4个互不