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1、矩阵的特征值与矩阵的对角化【基本要求】1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，并掌握其求法；2.理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充要条件；3.理解实对称矩阵的定义及有关特征值、特征向量的性质，会用正交变换化实对称矩阵为相似对角形矩阵。【主要内容】<1>重要公式：1、（是阶方阵的特征值）2、（表示的迹）3、A可逆4、若可逆阵A的每行之和为，则为矩阵的一个特征值，为的一个特征值，且对应的特征向量为5、设，则6、A可逆且有n个线性无关的特征向量有相同的n个线性无关的特征向量。7、8、设是阶方阵特征值，是
2、对应于的特征向量，则有如下表矩阵AB（A经过初等换所得）特征值不定特征向量不一定是不定<2>可对角化的判断方法：1.有个线性无关的特征向量；2.若A为实对称矩阵，则一定可以对角化；3.若有个互不相同的特征值，则一定可以对角化；4.设是的所有不同的特征值，且其相应的重数为，若，，则一定可以对角化<4>A、B有相同的特征值<5>变换关系变换阵性质等价PAQ=BP、Q可逆秩不变相似P可逆秩不变，不变，，tr（A）=tr（B）正交相似C正交同上【典型例题】例1求的特征值与特征向量.解：特征方程为
3、λE－A
4、==(
5、λ+1)(λ－1)2=0，∴的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。把，它的一个基础解系，.同理可得A对应于特征值.例2已知，求一正交矩阵P，使P－1AP成为对角阵.解特征方程为
6、λE－A
7、=(λ－6)2(λ+2),的全部特征值为,当λ=6时，解方程组得，它们显然正交,所以只要对它们进行单位化，可得：，。当λ=－2时，解方程组得，单位化后，，令，则。例3设阶矩阵满足,证明(1)的特征值只能是1或0；(2)可逆。证:(1)设为的任一特征值，为对应于的特征向量，则，所以。又,,即,但,所以,即或.(2)因-
8、1不是的特征值，故,即，可逆。例4假设λ为n阶矩阵A的一个特征值，证明：（1）若可逆，则，为的特征值(2)若可逆，则为A的伴随矩阵的特征值。（3）是的特征值证:(1)由条件知有非零向量ξ满足Aξ=λξ，两端左乘以A－1，得ξ=λ(A－1ξ)，由于ξ为非零向量，故λ≠0，于是有，据特征值的定义，数为矩阵A－1的特征值。(2)由于，故（1）中的结论可写为，即,故数为的特征值。（3）由题设条件，有非零向量ξ满足：，由定义，是的特征值例5设A为n阶矩阵,试证齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是A有零特征根。
9、证:：因AX=0有非零解，故
10、A
11、=0。因，∴λ=0是A的特征值。：因0为A的特征值，故，∴
12、A
13、=0，因而AX=0有非零解。例6设三阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为，又向量(1)将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；（2）求Anβ（n为自然数）。解:（1）考虑向量方程，即，把此方程组的增广矩阵作初等行变换得唯一解(2,－2,1)′，故有β=2ξ1－2ξ2+ξ3。（2）由于Aξi=λiξi，故；因此【自我练习及解答】一、填空题：(1)n阶方阵若有n个不相同的特征值，则与一个相
14、似。(2)已知三阶方阵的特征值为1，2，3，则的特征值为，的特征值为；(3)矩阵的非零特征值是。(4)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是。(5)n阶单位阵的全部特征根为；特征向量为。二、选择题：(1)是三阶矩阵，特征值为,其对应的特征向量分别是,设,则有(A)(B)(C)(D)．(2)n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）即非充分也非必要条件(3)设＝2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于.（A）（B）（C）（D）
15、(4)设阶方阵满足＝O（k为正整数），则（A）＝O（B）有一个不为零的实特征值（C）的实特征值全为零（D）有个线性无关的特征向量(5)设A是n阶矩阵，如果
16、A
17、=0，则A的特征值（A）全是零（B）全不是零（C）至少有一个是零（D）可以是任意数(6)如果与n阶矩阵A相似的矩阵只有A自身，则A为（A）单位矩阵E（B）可逆矩阵（C）数量矩阵aE（D）对角矩阵三、设为三阶方阵，且,其中是的伴随矩阵，求的特征值和特征向量。四、设3阶方阵的特征值为=1，，它们对应的特征向量依次为，求=？五、试判断矩阵能否对角化？若能
18、，则求P,使B=P－1AP为对角矩阵。六、设三阶方阵的特征值为2，1，0，（1）求的特征值；（2）求。七、已知八、设三阶方阵有三个不同的特征值,对应的特征向量依次为，令，证明：向量组线性无关。九、设A=，试求A的特征多项式、特征值及特征向量。习题参考答案:一．(1)对角阵;(2);6,11,18;(3)4;(4)正交的;(5)n重根λ=1;为任一个非零n维向量。二．(1)(D);(2)(B);(3)(B);(4)(C);(5)
