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1、矩阵的特征值与矩阵的对角化【基本要求】1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，并掌握其求法；2.理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充要条件；3.理解实对称矩阵的定义及有关特征值、特征向最的性质，会用正交变换化实对称矩阵为相似对角形矩阵。【主要内容】〈1>重要公式：1、
2、4
3、二方&•(入，兄2,…，血是卅阶方阵A的特征值),=12、=工入(tr(刖表示A的迹)/=!»=13、人HOfi=1,2,・・・,/?丿o
4、內H0oA可逆4、若可逆阵A的每行之和为dHO,则。为矩阵A的一个特征值，为A"的一个特征值，H.对应的特征向量为X=:b丿5、设人为A的
5、特征值，则，k=^kI-A^0^kI-A可逆=＞阿-內=0二＞kl-A不可逆6、A可逆R冇n个线性无关的特征向量=>A^M+A-1冇相同的n个线性无关的特征向量。7、A-B=>r(A)=r(B);fr(A)="(B)8、设几是斤阶方阵A特征值，Q是A对应于兄的特征向量，则有如下表矩阵AA-1kAAmA*/(A)P-'APAtB(A经过初等换所得)特征值r1kXrH/(九)AA不定特征向量QaaaaaP~xa不一定是a不定〈2>可对角化的判断方法：1.A有"个线性无关的特征向量；2.若A为实对称矩阵，则A—定可以对角化；1.若A有〃个互不相同的特征值
6、，则4一定可以对角化；2.设入以2,…入是A的所冇不同的特征值，且其相应的重数为匕咫,…匚,若R^iI-A）=n-ki,心1,2,则A—定可以对角化<4>A、B有和同的特征值=>R（A）=R（B）<5>变换关系变换阵性质等价PAQ二BP、Q可逆秩不变相似P-XAP=BP可逆秩不变，入不变，
7、a
8、=B,tr(A)=tr(B)正交相似C-lAC=B或CSC=BC止交同上【典型例题】"-1-22、例1求人=010的特征值与特征向量.°1丿2+12-2解：特征方程为
9、AE—A
10、二0Z-10=（入+1）（入一1严二0,・・・4的全部特002-1征值为入尸一1,入
11、2二入3=1。2x2一2x3=0把2.=-1代入方程组（如-A）X=0,得齐次线性方程组:-2x2=0,-2勺=0它的一个基础解系5（10o）r,.••力对应于特征值人=-1的全部特征向量为kJR是非零常数.同理可得A对应于特征值久2=A=啲全部特征向量为k,(l01)+心(-110)為不全为零丿…'204、例2已知060,求一正交矩阵P,使P^AP成为对角阵.(402)解・・•特征方程为IXE-A
12、=(X-6)贝ljP^[AP=(X+2),AA的全部特征值为人=22=6,血=一2,■当入二6吋，解方程组J4%1"4X3=0得-4%]+4兀3-0A对应
13、于2=6的两个线性无关的特征向量为〃严(111几〃2=(-12-1)它们显然正交，所以只要对它们进行单位化，可得:卩1左12■J丿丿当入二一2时，解方程组-4兀]一4兀3=0-8兀2=0得帀3一4xi-4%q=0(1)0,单位化后,(1)0-17例3设斤阶矢口阵A满足力2=人，证明(1)A的特征值只能是1或0；(2)A+/可逆。证：(1)设2为A的任一-特征值，兀为对应于2的特征向量，贝0Ax=Axf所以A2x=A(Ax)=A(加)=AAx=。乂A2x=Ax=Ax,A2x=Zr,即(才一2)x=&,但所以几(几一1)=0,即/1=0或2=1.(2)
14、因-1不是A的特征值,故Oh
15、-/-A
16、=(-l)n
17、/+A
18、,即
19、/+A
20、h0,I+A可逆。例4假设入为n阶矩阵A的一个特征值，证明：(1)若A可逆，则2工0,丄为A"2的特征值⑵若A可逆，则乎为，的伴随矩阵心J特征值。(3)汙是心特征值证：(1)由条件知有非零向量E满足两端左乘以得"入3丸),由于g为非零向量，故入工0,于是有A屯=¥，据特征值的定义，数*为矩阵AT的特征值。(2)由于犷】=丄A*,故(1)中的结论可写为丄A*歹=2。即A=—IAIIAIAA故数凹为A*的特征值。(3)由题设条件，有非零向量g满足：A^=^fA2^=A(A^)=A(
21、^)=A(A^)=A(^)=^^,--fAk^=Ak^由定义，/是屮的特征值例5设〃为刀阶矩阵，试证齐次线性方程组AX二0有非零解的充要条件是弭有零特征根。证：=：因AX二0有非零解，故
22、A
23、二0。因OE-A=-A=(-yA=O,：.X=0是A的特征值。U：因0为A的特征值,故IOE-AI=l-AI=(-irIAI=O,A
24、A
25、=0,因而AX=0冇非零解。例6设三阶矩阵A的特征值为入尸1,入2二2,入3二3,对应的特征向量依次为_r丁2'^3=3491又向量0二13J,J线性表出；(2)求(n为自然数)。解：(1)考虑向量方程%!+X2+
26、X3=10=X］歹］+兀2$2+兀3歹3'即彳兀1+2%2+3兀3=1，X］+4x2+9心=3
