导数与函数的最值及在生活实际中的优化问题.ppt

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1、导数与函数的最值及在生活实际中的优化问题温馨提示:请点击相关栏目。整知识·萃取知识精华整方法·启迪发散思维考向分层突破一考向分层突破二考向分层突破三考向分层突破四1．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a

2、，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值．整知识考点•分类整合结束放映返回导航页2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤结束放映返回导航页最值与极值的区别与联系(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个定义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不一定唯一．(3)极值

3、只能在定义域内部取得，而最值还可能在区间端点处取得．(4)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．整方法考点•分类整合结束放映返回导航页例1.已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(a、b为常数)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．1)求f(x)的表达式；2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值．解析：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－

4、g(x)，(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2.令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，∴当x∈(－∞，－)，(，＋∞)时，g(x)单调递减，当x∈(－，)时，g(x)单调递增，又g(1)＝，g()＝，g(2)＝，∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)=.考向分层突破一：利用导数求解函数的最值结束放映返回导航页同类练：设函数f(x)＝alnx－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值．结束放

5、映返回导航页变式练：2.已知函数f(x)＝lnx－ax(a>0)．求函数f(x)在[1,2]上的最小值．综上可知，当00)，(1)当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(2)当≥2，即0

6、，在上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当

7、(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．2．可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．结束放映返回导航页例2(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．考向分

8、层突破二：利用导数研究生活中的优化问题结束放映返回导航页解析：　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－