运用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

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1、公开课教案第15讲　运用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例开课人：薛由琼开课时间：2014-5-21第三节开课班级:高二年1班安全教育：反恐、反暴的安全知识。考试大纲要求：1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中函数的次数一般不超过三次)．2．会利用导数解决某些实际问题．复习内容：1．函数的最值(1)函数f(x)在区间[a，b]上必有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条____________________，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小

2、值的步骤①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的________；②将函数y＝f(x)的各极值与________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．极值或最值的应用(1)f(x)>m恒成立等价于________；f(x)

3、____________．3．优化问题：用料最省、利润最大、效率最高、成本最低等问题称为优化问题．利用导数解决生活中的优化问题的思路：——链接教材——　1．[教材改编]函数f(x)＝6－12x＋x3，x∈[－1，1]的最大值和最小值分别是________，________．[解析]由题意可得，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x∈9(－2，2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(－2，2)上单调递减，所以f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别为f(－1)＝17，f(1)＝－5.2．

4、[教材改编]一条长为2的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长度分别是________，________．[解析]设两段铁丝的长分别为x，2－x.则两个正方形的面积之和为S＝＋＝x2－x＋，则S′＝－，令S′＝0得x＝1.当x<1时，S′<0；当x>1时，S′>0.所以S在x＝1处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是1.3．[教材改编]做一个容积为256dm3的底面为正方形的无盖水箱，若要使用料最省，则它的高为________dm.[解析]设底面边长为x，则高为h＝，其表面积为S

5、＝x2＋4××x＝x2＋.则S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当x<8时，S′<0；当x>8时，S′>0.所以S在x＝8时取得极小值，也是最小值，用料最省，故高h＝＝4(dm)．——疑难辨析——　　1．用导数求最值的误区(1)函数在某区间上有极值，则一定有最值．(　　)(2)连续函数在闭区间上必有最值．(　　)(3)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．(　　)(4)函数f(x)＝＋x－1和g(x)＝－x－1都是在x＝0时，取得最小值－1.(　　)(5)函数f(x)＝x2lnx没有最值．(　　)[答案](1)×

6、　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×[解析](1)函数在某区间上有极值，则不一定有最值．如函数f(x)＝x3－3x在R上只有极值没有最值．(2)根据最值的概念知命题正确．(3)二次函数的极值也是最值．(4)对于f(x)＝＋x－1，f′(x)＝＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)为增函数，且定义域为[0，＋∞)，所以f9(x)的最小值为f(0)＝－1.对于g(x)＝－x－1，令g′(x)＝－1＝0，得x＝.当x∈（0，）时，g′(x)>0；当x∈（，＋∞）时，g′(x)<0，所以g(x)在区间（0，）上是增函

7、数，在区间，＋∞上是减函数，所以当x＝时，g(x)有极大值也是最大值，g（）＝－.(5)由题意可知，f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)．因为x>0，所以由f′(x)＝0得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0x.(　　)(2)求实际问题中的最大值、最小值，一定要考虑变量的实际意义．(　　)(3)一点沿直线运动，如果由始点起经过ts运动的距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是1s末．

8、(　　)(4)若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在区间(0，2)上没有实数根．(　　)[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)×[解析](1)令f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx>0（x∈（0，））.所以f(x)是区间（0，）上的增函数，则f(x)＞f(0)＝0，故x>sinx.(