内积空间的本概念.doc

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1、第四章　空间一　内积空间的基本概念　设是域上的线性空间，对任意，有一个中数与之对应，使得对任意；满足1）；＝0，当且仅当　；2）＝；3）；4）＝＋；称是上的一个内积，上定义了内积称为内积空间。定理1.1设是内积空间，则对任意有：。设是内积空间，对任意，命则是上的一个范数。　例　设是区间上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意，定义则与类似，是一个内积，由内积产生的范数为上一个内积介不是空间。定理1.2　设是内积空间，则内积是的连续函数，即时，，。定理1.3　设是内积空间，对任意，有以下关系式成立，1）平行四边形法则：＋＝2；2）极化恒等式：＝（－＋－定理1.4

2、　设是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在中定义一个内积，使得由它产生的范数正是中原来的范数。二　正交性，正交系1正交性　　设是内积空间，，如果，称与正交，记为。设是的任意子集，如果与中每一元正交，称与正交，记为；如果是中两个子集，对于任意，称与正交，记。设是的子集，所有中与正交的元的全体称为的正交补，记为。定理2.1　设是内积空间1）如果，且，则＝＋；2）如果是的一个稠密子集，即，并且，则；3）是的任意子集，则是的闭子空间。定理2.2　设是内积空间中的完备凸集，则对任意，存在，使得＝定理2.3（正交分解）设是空间的闭子空间，则对任意，存在唯一的及，使得2

3、正交系设，是内积空间中的子集，如果时，称,是中的一个正交系。设,是一个正交系，如果对每一上，,称,是一个标准正交系。设，是的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间，称,是的正交基。定理2.4　设是内积空间中的标准正交系，，是个数，则当且当仅时，取最小值。定理2.5（不等式）设是内积空间中的标准正交系，则对任意，有定理2.6　设是内积空间中的一个标准正交系，则是完备的，当且仅当张成的子空间在中稠密。定理2.7　设是空间，是中的标准正交系，则是完备的，当且仅当是完全的。定理2.8　设是空间，是中的标准正交系，，则存在，使得并且定理2.9（正交化定理）设是内积空间

4、中的可数子集，则在中存在标准正交系，使得与张成的子空间相同。3可分空间的同构定理2.10　设是任一可分的无穷维的空间，则存在上到同构映射，且保持内积。这个定理表示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式”三　表示定理，空间的共轭空间1表示定理定理3.1（表示定理）设是空间，是上任意有界线性泛函，则存在唯一的，使得对于每一个，有，并且有。2空间的共轭空间设是空间，，于是对任意，易见是上的一个有界线性泛函，因此由表示定理，存在唯一的，使得＝　　　（1）定义。　定义　设是空间，，把（1）式确定的有界线性算子称为的共轭算子。　　注意区别第三章第四节中定义上的有界线性算子

5、的共轭算子。以后说到空间上的有界算子的共轭算子均指（1）定义的算子，并且把它记为，即的共轭算子是由下式定义的算子：。　定义　设是空间，是上的有界线性算子，如果＝，即对任意则称是自共轭算子。　设是空间的有界共轭算子，以下是算子的一些简单性质。1）对任意，是实的。2）3）算子的特征值是实的。4）对应于算子的不同特征值的特征向量是正交的。四　空间中的自共轭紧算子　引理4.1　设是空间，是上的有界共轭算子，如果存在，，使得泛函在点达到极大，则由可推出＝0。　定理4.2　设是空间上的自共轭紧算子，则存在对应于特征值的特征向量构成的标准正交系，使得每一元可唯一地表示为，其中，

6、即满足，同时并且如果是无穷的，则＝0。