《向量的内积的概念》PPT课件

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1、★向量的内积的概念★向量的长度★向量的正交性★向量空间的正交规范基的概念★向量组的正交规范化★正交阵、正交变换的概念§1.预备知识：向量的内积下页关闭n维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向量的内积，从而引进n维向量的度量概念：向量的长度，夹角及正交。定义1设有n维向量向量内积的概念在空间解析几何中，两向量的数量积在直角坐标系中表示为推广到n维向量即有：上页下页返回内积。内积的运算规律：上页下页返回向量的长度由向量内积的性质(v)自然引入向量的长度。定义1令向量长度的性质：上页下页返回单位向量。正交向量组：指一组两两正交的非零向量。向量的正交性空间解析几何中两向量垂直推广到n维向量，可

2、得向量的正交性概念。上页下页返回夹角。定理1证上页下页返回例1解已知3维向量空间R3中两个向量上页下页返回上页下页返回就是R4的一个正交规范基。向量空间的规范正交基定义3上页下页返回上页下页返回向量组的正交规范化上页下页返回……………………………上页下页返回就得V的一个正交规范基。然后只要把它们单位化，即取上页下页返回试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。解例2上页下页返回再把它们单位化，取上页下页返回解例3它的基础解系为上页下页返回把基础解系正交化，即为所求。取上页下页返回由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化过程。x1+x2+x3=0的

3、基础解系为例，使得前两个分量与的前两个分量对应乘积之和为零即可，容易验证要求两两正交的基础解系，只要取从而取以例3中求齐次线性方程组上页下页返回Ex.1解其基础解系可取为上页下页返回定义4如果n阶方阵A满足ATA=E(即A－1=AT),那么称A为正交阵。上式用A的列向量表示，即是上页下页返回是正交阵。例4解P的每一个行向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交阵。验证矩阵上页下页返回这就说明：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基。定义5若P为正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换。这就说明：正交

4、变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。设y=Px是正交变换，则有上页下页返回(i).正交矩阵A的行列式

5、A

6、=1或

7、A

8、=－1;(ii).正交矩阵A是可逆的，且A－1=AT；(iii).正交矩阵A的逆矩阵A－1也是正交矩阵；(iv).同阶正交矩阵A与B的乘积也是正交矩阵。正交矩阵在本章中占有重要的地位，因此，必须牢记正交矩阵的性质：上页返回