例已知椭圆）的离心率是,短轴上一个端点到右焦点距离为.doc

《例已知椭圆）的离心率是,短轴上一个端点到右焦点距离为.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、例：已知椭圆（）的离心率是，短轴上一个端点到右焦点距离为（1）求椭圆方程。（2）设直线l与椭圆c交于A,B两点，坐标原点到直线距离为，求三角形AOB面积的最大值。解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意有，解得。故所求椭圆方程为。（2）设，，则直线方程为，化简为由原点到直线AB的距离为有即则三角形AOB的面积为当且仅当时，上述等号成立，故三角形AOB面积最大值为此题应用柯西不等式的一个关键是找到两组数，和，，恰好可以用到椭圆方程，使最后面积放缩成一个定值，而且等号可以取到。求最值和参数范围问题利用柯西不等式求最值是最常见的问题，现举两例，说

2、明柯西不等式在这方面的运用。例1已知，求的最小值。分析：由题可知，不能直接利用柯西不等式，观察发现，可将原式子平方后可以用柯西不等式。解：所以的最小值为。当且仅当时取等号。从这个例子说明，有些题目不能直接利用柯西不等式，可适当变形，变形的目的是要构造出柯西不等式的形式，也可以多次利用柯西不等式，本题还有一种方法可以更容易操作，更容易思考，更具一般性。另解：此时即时取到等号。这时的最小值为通过此例可以推出具备这种结构的更一般性的结论。当，的最小值为。当时取到最小值。当这种结构前面的系数变化时，也可以采取这种办法操作，处理方法类似，只是要适

3、当配凑一下系数。例2已知实数满足，且，求的取值范围。分析：要求的取值范围，可列关于的不等式，此题可将看做常数，移项到右边，然后用柯西不等式即可。解：由题意知：所以即解得柯西不等式反映的是具有相同项数的两个平方和之积与对应的项乘积之和的平方的大小关系，利用柯西不等式解题的关键是构造适当的两组数，并依照柯西不等式的结构特点进行探索。解方程问题例1解方程分析：该方程组有三个未知数，两个方程，本应有无数组解，但此例的形式类似于柯西不等式的结构，可以利用柯西不等式试解。解：所以而恰好等于，故此解恰好为柯西不等式取等号的条件。故有即时取等号。所以该

4、方程组的解为通过上例发现，其实利用柯西不等式解方程组其实就是柯西不等式取等号的条件。由此我们还可以研究方程的解得个数对方程中参数范围的影响。例2已知，且，试探究当取何值时①方程无解②方程一解③方程无数解分析：方程有解可以转化为对应的柯西不等式成立，无解对应的柯西不等式不成立，有一解对应是柯西不等式取等号的条件。解：依题意有：①当时，此方程组无解。①当时，方程组有一组解。②当时，方程组有无数解。此例当中，因为方程代表平面，方程时代表椭球，故此例当中解得个数问题可以转化为平面与椭球的交点问题，椭球与平面相离对应没有解，相切对应只有一组解，相

5、交对应的公共部分是一段弧线，故有无数组解，进而可以得出更一般性的结论。应用柯西不等式，常常需要根据柯西不等式的特定结构，对相关式子适当变形，如添，拆，分解，组合等。在应用柯西不等式解决最大值最小值问题时，要注意验证等号成立的条件是否成立，多次利用柯西不等式求最值时，每一次运用前后等号成立的条件要一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。在三角函数中的运用例1求的最值解：所以当且仅当时取等号。变式：求的最大值。解：构造向量利用柯西不等式的向量形式有当且仅当且时取等号。在直线中的运用在解析几何中，我们学习了点到直线，两平行直线之间的距离公式，这

6、两个公式都可以利用柯西不等式来证明。1已知为平面中任意一点，直线（，不同时为0）则到直线的距离为。证明：在上任取一点，则到的距离为根据柯西不等式有：即，当且仅当时取等号。可以发现方程表示过点且与直线垂直的直线，该直线与直线的交点到点的距离显然最小。2已知，则两平行直线，之间的距离为证明：在直线上任取一点，在直线上任取一点，则又所以，当且仅当即的连线与，都垂直，此时长度取最小，且该最小值为两平行直线之间的距离。其实，利用柯西不等式还可以研究空间中点到平面的距离公式等问题，其研究方法可以用三维形式的柯西不等式。