2021高考数学一轮复习课时作业31数列求和理.doc

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1、课时作业31　数列求和[基础达标]1．[2020·辽宁大连二十四中模拟]已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．解析：(1)由题意得b＝anan＋1，则cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，∴{cn}是等差数列．(2)当n＝1时，a＝a，∵a1>0，∴a1＝1.当n≥2时，

2、a＋a＋a＋…＋a＝S，①a＋a＋a＋…＋a＝S，②①－②得，a＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．∵an>0，∴a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③∵a1＝1合适上式，∴当n≥2时，a＝2Sn－1－an－1，④③－④得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.2．[2020·四川绵阳诊断]已知等差数列{an}的公差大于0，且a4＝7，a2，a6－2a1，a14是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an

3、}的通项公式；(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn>39，求n的取值范围．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0)，由a4＝7，得a1＋3d＝7，①又a2，a6－2a1，a14是等比数列{bn}的前三项，∴(a6－2a1)2＝a2a14，即(5d－a1)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，化简得d＝2a1，②联立①②，解得a1＝1，d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)∵b1＝a2＝3，b2＝a6－2a1＝9，b3＝a14＝27是等比数列{bn}的前三项，∴等比数列{bn}的首项为3，公比为3.∴Sn＝＝.5由Sn>39，得>39，化简

4、得3n>27，解得n>3，n∈N*.3．[2020·河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中，a1＝1，＝，设bn＝·an.(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)求{an}的前n项积Tn.解析：(1)因为＝＝·＝·＝4，b1＝2a1＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为4的等比数列．(2)由(1)知bn＝·an＝2·4n－1，则an＝·22n－1.从而Tn＝（×××…×）·21＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.4．[2020·山西河津二中月考]设数列{an}满足a1＝1,3a2－a1＝1，且＝(n≥2，n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{

5、bn}中，b1＝，4bn＝an－1an(n≥2，n∈N*)，{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<1.解析：(1)∵＝(n≥2)，∴＝＋，又a1＝1,3a2－a1＝1，∴＝1，＝，∴－＝，∴是首项为1，公差为的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，即an＝.5(2)∵4bn＝an－1an(n≥2)，∴bn＝＝－(n≥2)，又b1＝符合上式，∴bn＝－(n∈N*)，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1－）＋（－）＋…＋（－）＝1－<1.5．[2019·浙江诸暨中学期中]设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通

6、项公式；(2)设bn＝求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝　①，当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝　②，①－②，得3n－1·an＝(n≥2)，即an＝；当n＝1时，a1＝，符合上式．所以数列{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知bn＝①当n为奇数时，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋3n－1＋n＝·＋＝＋(3n－1－1)．②当n为偶数时，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋(n－1)＋3n＝·＋＝＋(3n－1)．所以数列{bn}的前n项和Sn＝6．[2020·安徽合肥模拟]已知等差数列{an}的前

7、n项和为Sn，公差d>0，且a2a3＝40，a1＋a4＝13，在公比为q(00，所以a2

8、b1＝，b