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1、第九章重积分第一节重积分的概念与性质1.选择设,,（1）若由轴、轴与直线围成,则在上..;.;由二重积分的性质可知,..;.;.;（2）若由圆周围成,则..;.;.;2.填空设,（1）若,域为,,则在上,的最小值为,最大值为;由二重积分的性质可知,;（2）若,域为,则在上,的最小值为,最大值为,因此.3.设,其中是矩形闭区域：,;,其中是矩形闭区域：,,试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系.解设函数,则积分的几何意义是在矩形域上以曲面为曲顶的曲顶柱体体积.由于域关于（即轴）对称,而函数是的偶函数
2、（即曲面关于面对称）,因此=,52其中域为,.同理,关于对称,是的偶函数,因此,=于是=4,即.第二节二重积分的计算1.填空（1）改变积分次序=.（2）改变积分次序=+=.若,则=.（3）设：,,则应把二重积分化为先对后对的二次积分==4.（4）二重积分=.（5）二重积分===.2.画出积分区域,并计算下列二重积分.（1）,其中是闭区域,.52解原式====.（2）,其中是由直线,,所围成的闭区域.解将视为型区域,则：,.原式====.（3）,其中是由不等式,所确定的闭区域.解原式====.易犯的错
3、误是：认为积分区域是关于轴对称的,因此原积分等于在域内第一象限部分域上积分的2倍,即原式=2,=此解错在没有被积函数的奇偶性,只有积分区域的对称性,就乱用对称性简化计算.（4）,其中是由曲线,和围成的闭区域.解===.3.计算积分的值.解由于函数的原函数不是初等函数,故需交换积分次序,积分区域为由所围成的区域,故原式=====.4.设为以点为顶点的三角形,为在第一象限部分,试将化为上的积分.解如图9.1所示,将积分区域分为与两部分,其中为三角形,52为三角形.显然关于轴对称,关于轴对称,又因为函数关
4、于,均为奇函数,所以=0,=0.故=+=0.又函数关于为偶函数,关于为奇函图9.1数,所以=2,=0.综上所述,=2.5.证明：=.分析因为欲证等式的左端为累次积分,等式右端为定积分,因此,应从左端出发证明，作一次积分,化为定积分,使之与右端定积分相等.但原累次积分的被积函数含有抽象函数,无法关于先积分,故考虑改变积分次序.解==.6.求下列空间域的体积.（1）由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体.解曲顶柱体以为底,以为顶面,故所求立体体积===6-1-=.（2）由曲面及围成的立体.解两曲面的交
5、线满足方程组消去,得.所求立体的体积52==3=3==.7.画出积分区域,并且把积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域是：（1）,;解积分区域如图9.2(a)所示,其边界曲线及在极坐标下的方程分别为及.原积分=图9.2（a）图9.2（b）易犯的错误是：积分区域如图9.2(b)所示.原积分=.此错误是由作图不准确造成的.（2）由曲线,及围成的闭区域（）.解积分区域如图9.3所示,曲线图9.3及在极坐标下的方程分别为及.原积分=52+.易犯的错误是：原积分=.8.计算,其中：.解积分区域关于轴,轴
6、均对称,被积函数关于,均为偶函数,故=4（为位于第一象限的部分）=4=.9.选择适当的坐标计算下列各题.（1）,其中是圆环形闭区域：.解原式===.（2）,其中是由曲线和在第一象限所围成的区域.解====.（3）,是由圆周,及直线所围成的在第一象限内的区域.解==.（4）,其中是由直线,,,所围成的闭区域.解原式===52==.易犯的错误时：认为积分区域如图9.4所示.原式=图9.4+.此错误是由画图不准确造成的.（5）,其中是直线,,及曲线所围成的平面区域.解1区域及如图9.5所示,有=-==4-
7、=4--22图9.5=4-.解2如图9.5所示,,===4-=4-.10.求由圆和心形线所围图形（在圆外部分）的面积.解由得交点：,.面积==52===.11.设平面薄片所占的闭区域是由螺线上一段弧与直线所围成,它的面密度.求此薄片的质量.解质量=====.第三节三重积分的计算1.化为三次积分,其中积分区域分别是：（1）由双曲抛物面及平面,所围成的闭区域.（2）由曲面,及平面,所围成的闭区域.解（1）由消去,得,即或.因此空间域是以为下曲面,为上曲面,侧面是柱面,,.因此原式=.（2）积分区域可表示
8、为,,所以.2.计算,其中由,,和所围成的闭区域.解将积分区域向平面投影得：,,则可表示成,,故==52===.3.计算,其中是由锥面与平面所围成的闭区域.解1积分区域如图9.6所示,用竖坐标为的平面截域,得圆域,其面积为,采用“先二后一法”计算.图9.6====.解2积分域的边界曲面在柱面坐标下的方程分别为及.利用柱面坐标计算.原式====.易犯的错误是：（1）在柱面坐标下,原式=.关于的积分上、下限错误.（2）采用“先二后一法”.===.关于,积分的积分域错误,积
