2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第3章 第20讲 数列求和

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1、第三章数列、推理与证明数列求和第20讲94.1+2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1=_________(n-1)×2n+15.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3，…)，则此数列的通项公式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第______项．an=2n-113解析：当n=1时，a1=S1=-9；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11，a1=-9也符合上式，an=2n-11(n∈N*)．由nan=2n2-11n=2(n-)2-知，当n=3时nan为数值最小的项．用公式法求和【例

2、1】已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2n·p＋n·q(n∈N*，p，q是常数)，且x1，x4，x5成等差数列．(1)求p，q的值；(2)求数列{xn}的前n项和Sn.【解析】(1)因为x1＝3，xn＝2n·p＋n·q，所以x4＝24·p＋4q＝16p＋4q，x5＝25·p＋5q＝32p＋5q.因为x1，x4，x5成等差数列，所以2x4＝x1＋x5，即32p＋8q＝32p＋5q＋3，所以q＝1.又x1＝2p＋q＝3，所以p＝1.点评本题考查等差、等比数列的基本知识，主要考查运算能力和推理能力．可以直接代入等差、等比数列前n项和公式求和的前提是由已知条件求得首项和公差或公

3、比，因此，要求不仅要牢记公式，还要计算准确无误．第(2)问如果先写出x1＝3，x2＝6，x3＝11，x4＝20，再来找规律较难，用拆项分组求和则要好得多．【变式练习1】在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，并且an＋1

4、查(1)Sn与an的递推关系；(2)裂项求和法．错位相减法求和【例3】求S＝1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋(n＋1)·xn的值．点评通过观察，本题有如下特征：系数成等差数列、字母成等比数列，即它是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列，具备用错位相减法的条件；同时本题也有陷阱：并没有确定x是否为0或1，故容易贸然地用错位相减法求解，而需先分类讨论．在求解过程中还要注意，在等比数列求和时，项数也容易搞错．【变式练习3】设{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，已知T1＝1，T2＝4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{Tn}的通

5、项公式．分组分解法求和点评分组分解法是通过对数列通项结构的分析研究，将数列分解为若干个能够求和的新数列的和或差，从而求得原数列和的一种求和方法．如本题将数列分成奇数项的和与偶数项的和，分别应用等差数列和等比数列的求和公式求解．【变式练习4】求值：Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n＋1·n.1204.求值：1002－992＋982－972＋…＋22－12＝___________5050本节内容是在等差数列、等比数列等特殊数列求和的基础上，将两个(或几个)数列复合而成的数列求和，主要从四个方面考查，一是直接用等差、等比数列求和公式来求；二是拆分成等差、等比数列或其他特殊数列来求；

6、三是倒序相加来求；四是两边乘以同一个数后，用错位相减法来求．要求在熟记特殊数列求和公式的基础上，观察数列的特征，选择恰当的方法，有时还会要求分类讨论．1．一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列一般用错位相减法求和．其做法是：在等式两边同乘以等比数列的公比，然后两式相减，右边中间的(n－1)项变成等比数列，很容易求和，同时注意第一个式子的首项和第二个式子的末项的符号，最后将左边的系数除到右边即可．2．在求S＝x＋2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)·xn＋1这类问题时要注意：(1)对x分类讨论；(2)项数是多少．3．裂项相消法求和是先将通项(最后一项)分裂成两项(或多项

7、)的差，通过相加过程中，中间的项相互抵消，最后剩下有限项求和．4．倒序相加求和法的依据是推导等差数列前n项和的方法，即与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(即a1＋an＝a2＋an－1＝…)，可采用把正着写的式子与倒过来写的两个式子相加，就得到一个常数列的和．