圆锥曲线一个有趣性质的再探究-论文.pdf

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1、2013年12月江苏教育学院学报(自然科学)Dec．．20l3第29卷第6期JoumMofJiangsuInstituteofEducation(NaturalSciences)V01．29No．6圆锥曲线一个有趣性质的再探究朱华东(江苏省石庄高级中学，江苏南通226531)[摘要]对圆锥曲线的一个性质进行了进一步探究与推广，可利用这个定理进行圆锥曲线有关试题的命制[关键词]圆锥曲线；数学教学；高中[中图分类号]c632．3[文献标识码]A[文章编号]1671—1696(2013)06—0074—02文献[1]中证得圆锥曲线的一个有趣性质，即：定理1过圆锥

2、曲线E的一个焦点F的任一直联立方程组{【+2：1，消去，得：线(不与焦点所在坐标轴重合)交E于不同两点，和另一焦点F相对应的顶点与这两点的连线分别和F(b2+a)y+2bmny+b(m一a)=0，相对应的准线交于另两点，则以准线上这两点为直故+y：：一，(2)Dn十a径端点的圆必过E的焦点．文献[2]对定理1进行了如下推广：Y,Y2：—■亍．·(3j)定理2设圆锥曲线E的一个焦点为F，相对应由(1)、(2)、(3)可得，的准线为，过焦点F的直线交圆锥曲线E于A、日两点，C是圆锥曲线E上的任一点，直线CA、CB分别与+z：，’(4斗)准线交于、Ⅳ两点，则以线

3、段MN为直径的圆必过焦点F．X1X2：—唼■f．·(5))笔者发现，定理2还可进一步推广．直线的方程为：，令：22，定理3设P(m，0)，直线=，C为椭圆，n22．．，!二坐二+=1(口>b>0)上任意一点，过P点的直线得y：，aO交椭圆于A、B两点，直线CA、CB分别与直线交于L2．f。：(Aam)y+(X1一)]．———、Ⅳ两点，则·=为定值，·=’／lHL—U。，2又P(m，0)，二(c一m)，也为定值，其中c=o一b．m证明设A(。，Y)、B(，Y：)、C(。，Y。)，．．·‘．·k—eM：————=——_／l一m叫)：直线AB的方程为=ny+m．

4、(1)(a一mxo)Yl+(mxl一。)yO(6)(a一m)(1一o)’[收稿日期]2013—07—15[作者简介]朱华东(1979一)，男，江苏如皋人，江苏省石庄高级中学一级教师．．——74-——由(7)、(9)得：：f，口：(一～皇一X]／=．：+o，孔20一m2(tl,一mx0m)y(l1+一(m0x)l—n)Y0(7)[(n一mxo))，l+(ml一0)y0][a一m0)Y2+(m2一a2)y0]m2(l—o)(2一o)一弛：，㈣将(6)、(8)代人上式得：2。一4／22、2／22、210一m，I，一n，一：一PM·_÷二旦2+_二旦PN=一I2¨

5、删pM·nPN．‘2一(a一mo)Y2+(mx2一a。)Yomm—0——口mPN一m(x2一戈0)(14)代人上式，并注意到c=a一b，得+22PM．一PN：一2(＼C2一m2)，由(6)、(8)得、l_l，：，n删·kpN=[(0。一mxo)YlY2+(口一定理3获证．my,o)my0(X1Y2+x2Y1)一(a一mN,o)ct2y0(Y1+Y2)+此定理中，若P为椭圆焦点，直线￡就是相对应2的准线，m：±C，·=一1，·=0，PM上ml2—0)，02m(1+2)+a4y]／[(0一m)(1PⅣ，以MN为直径的圆当然过P点，故此定理是定理一)(2一。)]

6、．(10)。2中圆锥曲线为椭圆时的推广．由(1)、(2)、(3)得：类似地有定理4、定理5如下，它们分别是定理21Y24-x2y1=Y2(nyl+m)+Yl(ny2+，)=中圆锥曲线为双曲线、抛物线时的推广．2nyY2+m(yl+Y2)2na2b62n2+02‘定理4设P(m，0)，直线L=，C为双曲线m由(2)、(3)、(4)、(5)、(11)并注意到：22222，2I22V0Yo=aD—D0，-7一1(a>0，b>0)上任意一点，过P点的直oO(0一，孔o)YlY2+(0一mo)my0(1Y2+x2Y1)一(口线交双曲线于A、口两点，直线CA、CB分别

7、与直线一mNo)aZy0(y1+Y2)+myl2一n2yo2m(1+2)+b(口一mo)bm。一0)交于、Ⅳ两点，则kpM·PⅣ=，为定值；42m一ⅡYo—b2n，+n2—22．=(C一m)，也为定值，其中c=2222mnyab(a一mo)2bmna(a-mX，nyoo)+。———————————————+bn4-o26凡+0。0+6rm一bEn、m口Y42定理5设P(m，0)，直线L=一m，C为抛物2+2aYobn线Y=2px(p>0)上任意一点，过P点的直线交抛：鱼[0,2(mz—bZrt2)一2口zm。+(6znz+物线于A、B两点，直线CA、CB分

8、别与直线￡交于M、O1,+ⅡⅣ两点，则。keN=一为定值，‘=2m