数学论文探究圆锥曲线的某些性质

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1、探究圆锥曲线的某些性质河北省石家庄市正定中学高二零班赵钊指导教师：鲍军峰【摘要】圆锥曲线是高考的必考内容，其许多性质的论证与探究都体现着数学思考的价值，本文从一道习题出发，探索可能的一般结论，并给出该结论的一个应用。【关键词】圆锥曲线光学性质切线垂足一、由特殊问题到一般结论。2014年河北正定中学期中考题有一道圆锥曲线的题，如下：22、已知椭圆C。、为左右焦点，过椭圆上一点P做其切线,过作M于M。求M的轨迹。本题中M的轨迹为以O为圆心，5为半径的圆。通过此题，证明此题中的结论是否具有普遍性。预期结论：过焦点作椭圆切线的垂线，垂足与中心距离为定值。二、一般结论的证明。1

2、、分析探索可行的证法。①设出P点坐标，求出切线方程。②用参数方程简化运算。2、证明一般结论。已知一椭圆（），、为其左右焦点。过椭圆上一点P作其切线。过作M于M。求M的轨迹。证明：设P（，）则切线方程为即∵且过方程为∵M为与M交点①②①2+②2：（）（）=（）显然0故M轨迹为。3、结论的另一证法。思路：①由于出现切线，有椭圆的光学性质。②出现垂直，有一系列几何关系。已知一椭圆（），、为其左右焦点。过椭圆上一点P作其切线。过作M于M。求M的轨迹。证明:连结、。延长交于N。由椭圆的光学性质，有又∵PMM为的中点。∵O为的中点===×2=即：M轨迹为。综上所述：过焦点作椭圆切

3、线的垂线，垂足与中心距离为定值，等于椭圆长半轴长。三、结论的应用。有这样一道问题：过椭圆C：（）上不同两点A和B的切线互相垂直。证明：两切线交点M的轨迹方程为。1、分析探索可行的证法。①找出焦点F1、F2并作切线的垂线，应用上述结论，简化证明。②利用三角形全等、勾股定理等表示出的长度。2、结论的证明。如图：证明：过O作OA于A，OB于B。=即证=。过作于C，于E过作于D，于F由上述结论，有==∵====在△F1OE和△OF2F中，有则△F1OE≌△OF2F。又由勾股定理，①②相加即得即即M轨迹为得证。注：本题结论有一些小瑕疵，由①、②两式可得、，故M的轨迹为。四、对结

4、论的探究。由于这个结论对于椭圆成立，那么它对于双曲线和抛物线来说是否成立呢？下面开始探究。证明方法：类比椭圆，用参数方程和几何法。1、双曲线。已知一双曲线。、为其左右焦点，过双曲线上一点P做其切线，过作M于M。求M的轨迹。如图证明：设P则切线方程为即∵且过方程为∵M为与M交点两式平方相加，得化简显然故M轨迹为。2、抛物线。已知一抛物线。F为其焦点。过抛物线上一点P作其切线。过F作FM于M。求M的轨迹。如图证明：设则切线方程为即∵且过F方程为∵M为与FM交点：显然则，代回得则M的轨迹为直线。3、几何法证双曲线。已知一双曲线。、为其左右焦点，过双曲线上一点P做其切线，过作

5、M于M。求M的轨迹。证明：延长交于。根据双曲线光学性质，有。又∵△为等腰△，M为中点。又∵O为中点。即：M的轨迹为。4、几何法证抛物线。已知一抛物线。F为其焦点。过抛物线上一点P作其切线。过F作FM于M。求M的轨迹。证明：如图做抛物线的准线，交x轴于B。设与y轴交于M，x轴交于N。连结AN。过P作于A，连结MA，MF，MB。由P在抛物线上，PF=PA,由抛物线光学性质，得。四边形APFN为菱形。在△APM和△FPM中有则△APM≌△FPMAM=MF又∵OB=OF=，OMBFBM=MF=AM，由BM=AM得∵ABOM，AMF共线FMPN点M即为过F作垂线的垂足。M的轨迹

6、为直线。五、问题的总结。通过对一道题的思考，挖掘出了圆锥曲线的一般形式，这种举一反三的研究方法有助于问题的推广。生活如数学，很多问题都经得起反复推敲。很高兴通过这篇论文提高我的数学水平。参考文献：单墫，熊斌主编《奥数教程》高二年级。华东师范大学出版社《几何画板》