圆锥曲线“焦顶三角形”的一个有趣性质-论文.pdf

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1、2013年第6期河北理科教学研究问题讨论圆锥曲线“焦顶三角形"的一个有趣性质上海市宝山区宝林路宝林六村42号101室姜坤崇201999定义以圆锥曲线上的一点、一个焦点由椭圆的焦半径公式得I面I：。菇。+及此焦点对应的顶点为其顶点的三角形称为“焦顶三角形”．a(e=÷)，而l朋

2、-口一c，故cos卢’=n本文介绍圆锥曲线“焦顶三角形”的一个面．面(c—o)(z。+c)有趣性质，以飨读者．I一⋯一I一(口一c)(ex+口)一FA、”叫、r．．a,0。叫22

3、．1FB定理1设椭圆c：与+告=1(n>bUU当_』．将①式代入上式，考虑到bz：口2一e戈n+口>

4、0)的一个“焦顶三角形”为AFB(其中F为一个焦点，A为F对应的顶点)，设么BAFc2及e：旦，可得o=d，么AFB=p，则tanatan告一1=e(e为。口2(口一c)k2一(口一c)(口+c)2厶∞8p2了五=万矿■五=万五■孑c的离心率)．k2一(e+1)2tan2a一(e+1)2证明：如图1，一k2+(e+1)2一tan2口+(e+1)2。J，。不妨设F(一c，?犬0)(C2=02一b2)，勿所以c砰导=}}娣=矗号鲁．又j?则A(一口，0)．又设彳＼F0≮～／jo<口<号，o<尝<考，所以tan口>o，曰(菇。，yo)(不妨设Yo>0)是C上

5、异tan等粤>>0．．因因此此tanatan粤告一一1：=ee．．图1于长轴两端点的一定理2设双曲线c：毛一卫I：l(口>点，直线AB的方程为Y=k(石+口)(k=tana)，代入椭圆方程消去Y整理为关于茗的三角形”为．20，>)的一个“焦顶b0AFB(其中二次方程得(口2k2+b2)戈2+2a3后2z+F为一个焦点，A为F对应的顶点)，设82(a2k2一b2)：0．么BAF=口，么AFB=卢，e为C的离心率，由于一位，戈。为以上方程的两根，故由韦(1)若点日在F对应的一支上，则达定理得(一口)菇。=尘≥甜．所以tanmn譬一▲=e；(2)若点B不在F

6、对应的一支上，则石丑。。一：一一旦』』￡兰掣w①‘．y-ff：一(、c。一一口Ⅱ，’a2k2．Lb2一tan⋯t譬一t=e．0)，FB=(并o+c，Yo)，所以，1H·FB=(c—证明：不妨设F(c，0)(C2=02+b2)，则n，0)·(zo+c，Yo)=(c一口)(戈o+c)．A(a，0)．又设B(戈。，Y。)(不妨设Y。>0)，·6·2013年第6期河北理科教学研究问题讨论直线AB的方程为’，=

7、

8、}(并一口)(庇=tana)，一。，故咖p：≤塾兰姿：代入双曲线方程消去Y整理为关于x的二次l肼1．I船I方程得(口2五2—62)算2+2a3忌2菇+

9、口2(02后2(口一c)(菇。一c)兰型．将②式代入+62)=0．于是由口，戈。为以上方程的两根(C一口)(口一e菇o)一e石0一o知。菇。：旦二毛料．所以XO=上式，考虑到62=c2一02，可得eosfl=口托一口揣1一=}耀tan2．所”以’’7、粤㈣②．又面：(口一c，0)，面：(e+)2+七2(e+1)2+口’(菇。一c，Yo)，所以FA·FB=(口一c，0)·cot2卫2下1±嘲eos星p=譬．又号⋯丌，(zo—c，Yo)=(n—c)(菇。一c)．o<尝<专，所以tan口o．因此(1)若点B在F对应的一支上talla。。t粤：

10、一(。+1)，即一胁一t粤一1：e．(即C的右支上)，定N3设抛物线C：Y2=2px(P>0)如图2，则由双曲的“焦顶三角形”为0朋(其中F为焦点，0线的焦半径公式为C的顶点)，设么BOF=a，么OFB=』9，图2得lFBI=ezo一则tan口tan导=2．．————+口(e=三)，而I烈I=c—n，故cosp=证明：如图4，U_y。焦点F(要，0)，顶F4·FB(口一c)(石。一C)厶一——．AF．)o1i一；。。石e()口一c、(。”7、。“o”7．纩。I·I，B点D(0，0)，设D＼FX二卫．将②式代人上式，考虑到62=c2一B(戈。，y。)(不

11、妨设e戈n一口＼＼Y。>0)，则Y：=—、-———～口2，可得c。sp=妾；删=2pxo，FO=图4案描．所‰t2尝=㈢=(一号，o)，FB=(髫。一号，，，。)，于是FO▲FB=(一号，o)’矗等寺．又o0．>，>，0tan导>．0因此tanatan。一一1：=ee．．(菇。一号，y。)=一号(石。一号)．又由抛物线FO(2)若点B在的定义得I船I=戈。+号，而I1=号，C的左支上，如图＼≤√所以IFOI。IFBI=号(戈。+号)．于是c。s卢3，则由双曲线的焦半径公式得￡垒：堕一卫二兰兰!一卫：

12、二z；／o’∥≮÷i一。-巾02+1y-20‘一FO．一I—P+2戈。一PIF0·FBFBI=