正余弦定理应用.doc

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1、正余弦定理【要点梳理】要点一、正弦定理和余弦定理的概念①正弦定理公式：（其中R表示三角形的外接圆半径）②余弦定理公式：第一形式：第二形式：要点二、三角形的面积公式①；②；要点三、利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：①若A为锐角时：一解一解两解无解②若A为直角或钝角时：要点四、三角形的形状的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余关系：，，；（2）等腰三角形，；用余

2、弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；要点五、解三角形时的常用结论在中，，（1）在中7（2）互补关系：，，；（3）互余关系：，，.【典型例题】类型一：利用正、余弦定理解三角形1.在中,若,则_______,________.【答案】由得,.由正弦定理得.又,即,解得.2.在中，已知,,，解三角形.（1）∵，法一：∵，∴，即，∴，，.法二：∵，∴或，①当时，，；②当时，（舍去）.3.△ABC中，A=45°，a=2，求b和B，C.解法一：正弦定理由若C=60°，则B=75°，若C=120°，则B=15°，解法二：余弦定理若若解法三：

3、正余弦定理若∵b>c>a，所以B>C>A，所以B=75°，C=60°；若∵c>a>b，所以C>A>B，所以B=15°，C=120°.4.在中，已知，，.，解三角形.解：∵∴法一：∵∴，法二：∵又∵，即7∴，有，∴，.5.在中，若，，，求角和．解：根据余弦定理：，∵，∴，。6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）A．B．C．D．解：边7对角为,则由余弦定理可知,所以,所以最大角与最小角的和为,选B．7.设的内角的对边分别为,且,则__________,的面积__________.答案：8.在中，若，则边上的高等于．【答案】由余弦定理得，即整理得，解得。所以BC边

4、上的高为。9.在△ABC中,若=2,b+c=7,cosB=,则b=_______.【解析】在△ABC中,利用余弦定理,化简得:,与题目条件联立,可解得10.中三边分别为a,b,c,且那么角C=解析：∵∴即∴11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,b=4,cos(A-B)=.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求cosC的值.类型二：正、余弦定理的综合应用1．已知△ABC中，a=6，b=8，c=9，试判断此三角形的形状。【思路点拨】已知三边判断三角形的形状，通常先用勾股定理判断是否为直角三角形，斜三角形再用余弦定理判断最大边所对角的余弦值的符号。【解析】因为

5、a

6、究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断。（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角。（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可。一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理。（5），不要丢解。3.根据下列条件，试判断△ABC的形状.（1）bcosA=acosB；（2）a=2bcosC（1）解法一：正弦定理由bcosA=acosB得2RsinBcosA=2Rsi

7、nAcosB，即sin(B-A)=0，于是B=A，∴△ABC为等腰三角形.解法二：余弦定理由bcosA=acosB得，即a2=b2，所以a=b，△ABC为等腰三角形.（2）解法一：正弦定理由a=2bcosC得2RsinA=4RsinBcosC，有sin(B+C)=2sinBcosC，得出sin(B-C)=0，即B=C，△ABC为等腰三角形；解法二：余弦定理由a=2bcosC得，得b2=c2，即b=c，△ABC等腰三角形.4.在△ABC中，根据下列条件决定三角形形状.(1)；(2).解：(1)