资源描述:
《法向量解立体几何大题类型大题.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、法向量解立体几何专题训练一、运用法向量求空间角1、向量法求空间两条异面直线a,b所成角θ,只要在两条异面直线a,b上各任取一个向量,则角<>=θ或π-θ,因为θ是锐角,所以cosθ=,不需要用法向量。2、设平面α的法向量为=(x,y,1),则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为sinθ=cos(-θ)=
2、cos<,>
3、=3、设二面角的两个面的法向量为,则<>或π-<>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定<>是所求,还是π-<>是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为,在a、b上任取一点A、B
4、,则异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA'=2、求点到面的距离求A点到平面α的距离,设平面α的法向量法为,在α内任取一点B,则A点到平面α的距离为d=,的坐标由与平面α内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组(类似于前面所述,若方程组无解,则法向量与XOY平面平行,此时可改设三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面α、β,两个面α、β的法向量为,则18四、应用举例:例1:如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切
5、值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.解:(I)以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是,设法向量与平面C1DE垂直,则有(II)设EC1与FD1所成角为β,则例2:(高考辽宁卷17)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=600,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点。(1)证明平面PED⊥平面PAB;(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明:(1)∵面ABCD是菱形,∠DAB=600,∴
6、△ABD是等边三角形,又E是AB中点,连结BD∴∠EDB=300,∠BDC=600,∴∠EDC=900,如图建立坐标系D-ECP,设AD=AB=1,则PF=FD=,ED=,18∴P(0,0,1),E(,0,0),B(,,0)∴=(,,-1),=(,0,-1),平面PED的一个法向量为=(0,1,0),设平面PAB的法向量为=(x,y,1)由∴=(,0,1)∵·=0即⊥∴平面PED⊥平面PAB(2)解:由(1)知:平面PAB的法向量为=(,0,1),设平面FAB的法向量为1=(x,y,-1),由(1)知:F(0,0,),=(,,-),=(,0,-),由∴1=(-,
7、0,-1)∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ=
8、cos<,1>
9、=例3:在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.解:(Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1,∵棱长为4∴A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,4,1)18∴=(-4,4,1),显然=(0,4,0)为平面BCC1B1的一个法向量,∴直线AP与平面B
10、CC1B1所成的角θ的正弦值sinθ=
11、cos<,>
12、=∵θ为锐角,∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin(Ⅲ)设平面ABD1的法向量为=(x,y,1),∵=(0,4,0),=(-4,0,4)由⊥,⊥得∴=(1,0,1),∴点P到平面ABD1的距离d=例4:在长、宽、高分别为2,2,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面中心,求A1O与B1C的距离。解:如图,建立坐标系D-ACD1,则O(1,1,0),A1(2,2,3),C(0,2,0)∴设A1O与B1C的公共法向量为,则∴∴A1O与B1C的距离为d=18例5:在棱长为1的正方体ABCD
13、-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1、C1D1的中点,求A1到面BDFE的距离。解:如图,建立坐标系D-ACD1,则B(1,1,0),A1(1,0,1),E(,1,1)∴设面BDFE的法向量为,则∴∴A1到面BDFE的距离为d=新课标高二数学空间向量与立体几何测试题1一、选择题1.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为()图A.60°B.90°C.105°D.75°2.如图,ABCD—A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成角的余弦值是()A.B.图C.D.3.如图,A1B1C1—AB
14、C是直三棱柱,∠BCA=