连续时间系统的时域分析

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1、第二章连续时间系统的时域分析微分方程的建立与求解零输入响应和零状态响应冲击响应与阶跃响应卷积及其性质6/18/20211§2.1微分方程的建立与求解1.微分方程的建立设系统的激励信号为，响应为，则系统的特性可用一微分方程来描述对于线性时不变系统，该式为一非齐次的常系数线性微分方程式6/18/20212a.电阻:b.电容:c.电感:d.耦合电感v—I的关系依据系统微分方程的建立依据是构成系统的各部件的特性以及各部件之间的连接方式。具体到电路中，微分方程的列写依据是VAR，KCL和KVL三条规律。6/18/202136/18/20

2、214电路如右图所示，列写的方程。举例6/18/20215描述LTI连续系统的微分方程是一线性常系数常微分方程，一般形式如下：其中为激励信号，有时称为输入信号。为响应信号，也称为输出信号。为微分方程的阶次，或系统的阶次。由于系统是线性时不变的，所以上述微分方程中的所有系数都是常数。二.微分方程的求解(经典法)6/18/20216齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根、复根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次

3、解系数。求解的一般步骤6/18/20217（一）、微分方程的齐次解齐次方程：特征方程：特征方程的个根称为特征根：6/18/202181）特征根无重根：即个特征根各不相等，则齐次解为：2）特征根有重根：设有重根，则齐次解中相应于的部分有项，即：微分方程的齐次解的形式取决于特征根的不同情况。其中为待定系数。由给定的系统初始条件确定。6/18/20219写成复根因子的形式（复函数的形式）：写成实函数解的形式：3）特征根为共轭复根时，齐次解可有两种选择形式，设一对共轭复根为这时，为一对共轭复数。这时，为两实数。6/18/20211

4、01）2）【例题】写出微分方程的齐次解的形式【解】1）特征方程：，特征根：齐次解的形为待定系数。2）特征方程：，特征根：齐次解的形式：其中为待定系数。6/18/202111（二）、微分方程的特解将代入微分方程右边，化简得到的项称为自由项。特解即可根据自由项的函数形式来选择，如下表所示。6/18/202112【解】1）自由项：，设特解：【例题】已知微分方程：1）2）求两种情况下微分方程的特解。代入原微分方程得：解得：6/18/202113【解】2）自由项：，设特解：代入原微分方程得：解得：6/18/202114微分方程的完全解由

5、齐次解与特解相加得到。其中特解是一确定函数，而齐次解中有个未知系数，这个未知系数或待定系数必须由系统给定的初始条件来确定。即：其中中有个待定系数。它们由下面个初始条件来确定：6/18/202115例已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)，求系统的完全响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)解:(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为6/18/202116将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。由输入f(

6、t)的形式，设方程的特解为2)求非齐次方程的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6yp(t)=Ce-t3)求方程的全解6/18/202117解:6/18/202118齐次解:若因激励信号为6/18/2021196/18/202120若:则特解为:将B(t)代入微分方程,并用初始条件求出待定系数：6/18/202121【注意】1）求待定系数用到的是的初始值，而不是的初始值。2）从信号与系统分析的角度来说，初始条件用的是时刻的值，但一般给定的已知条件是时刻的值，它们在一般情况下是不同的。6/18/2021223.微分方程的算

7、子表示引入算子，并令于是有6/18/202123微分方程的算子表示(续)令高阶微分方程的算子表示传输算子6/18/202124算子的运算如果则有，为常数(不可约)算子可相约算子不可相约6/18/202125三、起始点的跳变—从到状态的转换如上所述，在确定完全解中齐次解部分中的待定系数时，我们要有个初始条件。从信号与系统分析的角度来说，这个初始条件指的是时刻，因为激励接入后的瞬时是时刻，或微分方程描述的是时间区间。但在实际问题中，我们知道的是时刻的起始状态。与时刻系统的状态一般是不同的，所以有下面两个概念：起始状态：在激励接入

8、系统之前的瞬（）系统的状态称为起始状态，它总结了为计算未来响应所需要的过去的全部“信息”。初始状态：在激励接入系统之后的瞬时（）系统的状态为初始状态，它用于求系统响应中齐次解部分的待定系数。6/18/202126求起始点的跳变一般有两种方法：1、对于具体的电网络，首先求出，