关于＊-仿正规压缩算子的性质.pdf

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1、第42卷第3期河南师范大学学报(自然科学版)Z．42No．32014年5月JournalofHenanNormalUniversity(NaturalScienceEdition)MaJv．2014文章编号：1000～2367(2014)03—0027—03关于*一仿正规压缩算子的性质李晓春，高福根(河南师范大学数学与信息科学学院，河南新乡453007)摘要：主要研究了压缩的*一仿正规算子的一些性质，证明了若T是一个压缩的*一仿正规算子，则正算子D一÷(丁一2丌+f)是一个压缩算子，且算子序列{D)强收敛于一个投影算子P，

2、满足TP一0；若T没有非平凡的不变子空19，则(i)T是真压缩算子，(ii)正算子D一÷(Il一21Tl+I)是强稳定压缩算子．关键词：*一仿正规算子；压缩算子；不变子空间中图分类号：0177．I文献标志码：A设是一个复数域上可分的希尔伯特空间；B(90为上有界线性算子全体构成的c代数．设，r∈B(，记f丁f一(T丁)寺，IT，]一TT一了T．若对VzE0．TEB(扔，若(T丁)一(TT)P，其中P>0，则称T是P一亚正规算子；

3、特别的，当P=1时，称为亚正常算子(即[T，丁]是正算子)；若对任意的zElll1。IlTllllzlI，则称丁是仿正规算子．为了更好的讨论亚正规算子，对数一亚正规算子(T可逆且log(TT)log(仃))和仿正规算子的关系，Furuta等引入了一个非常有趣的算子类：A类算子(丁满足JJ～J丁I≥O)；证明了亚正规算子是A类算子，同时仿正规算子包含A类算子，见文献[2]．最近，人们又引入了*一A类算子：若ITllTI，则称T是*一A类算子，见文献[3]．作为亚正常算子和*一A类算子的进一步推广，Duggal等提出了*一仿正

4、规算子的概念，见文献[3—4]．定义1设T∈B(，若对VzE满足IlTz1I三三三，llzlIlzll，则称T为*一仿正规算子．Han等在文献I-4-1中证明了*一仿正规算子的Weyl型定理和其谱性质；Duggal研究了压缩的*一仿正规算子的矩阵表示，证明了*一仿正规算子满足()性质等，见文献[3]．一般情况下，上述算子类之间有如下包含关系：{亚正常算子}{*一A类算子}{*一仿正规算子}定义2设丁∈B(扔，若满足Jj丁JJ1，则称T为压缩算子．若对任意非0的zEl_Txl

5、l<1，称算子T是严格压缩算子．严格压缩算子是真压缩算子，但反之不一定成立．若对任意的zE当一。。时，lfT"xfl一0，则称算子T是C。．压缩算子(即，T是强稳定压缩算子)；若对任意非0的z∈lirallz【l>0，则称算子T是C．压缩算子．当T是c。．或C．压缩算子，称算子T是C。或C类压缩算子．记C一Co．NCp，其中a，一0，1．等距算子是压缩算子其满足对任意的-zElll—lIzl1．关于压缩算子的性质，有许多作者进行了研究见文献[5—9]等；其中文献[7]研究了压缩的*一A类算子的性质及其不变子空间问题．在本文

6、中，主要研究压缩的*一仿正规算子的一些性质．收稿日期：2013-10—08基金项目：国家自然科学基金(11271112)；河南省教育厅自然科学基金(2011A110009；13B110077)；河南师范大学博士科研启动费支持课题(12102)；河南师范大学青年科学基金作者简介：李晓春(1976-)，女，河南新乡人，河南师范大学讲师，研究方向：概率论及算子不等式．28河南师范大学学报(自然科学版)主要结论Arora在文献[-lO-1指出丁∈B(是*一仿正规算子当且仅当对V>o，Il。一2lTI。+。o．对任意的>o，令Q一{

7、丁∈B(：『Tl。一2I丁I。+。o)，则T∈B(扔是*一仿正规算子当且仅当T∈n>。故每一个*一仿正规算子是Q类算子．若T是一个压缩算子，则对任意的z∈有I『Tx≤JllI．关于压缩的Q类算子，有如下结论．定理1设T∈B(是一个压缩的Q1类算子，则正算子D一妻(ITl一2ITl+D是一个压缩厶算子，且算子序列{D)强收敛于一个投影算子P，P满足丁P一0．证明假设T是Q类算子．故D=妄(1TI一2ITI。+J)三三=0．令R—D专为D的平方根．知道厶对任意的算子A∈B(，IllAIIl{=lIAll专和llAlIl—llI

8、I成立，其中∈由T为压缩算子，有IlTlIllTll1．任取∈和∈N，有11(D+lx，z>一一．去I(1lJTlRlI一厶厶2IIITlRll。+IR”z)一妻(_lRll一2llTRlzll+llRzlI。)去(1lRzI。一2IITRIl