控制系统设计的根轨迹法

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1、控制系统设计的根轨迹法魏乐weile_teacher@sina.com主要内容初步设计研究超前校正滞后校正滞后-超前校正初步设计研究增加极点的影响增加零点的影响1增加开环极点的影响在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统响应的调节时间。2增加开环零点的影响在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调节时间。超前校正超前校正装置的特性基于根轨迹法的超前校正超前校正装置的传递函数零点位于s=-1/T，极点位于s=-1/(αT)。因为0<α<1

2、，所以在复平面上，零点总是位于极点的右方。超前校正装置的特性基于根轨迹法的超前校正当性能指标以时域的形式给出时，例如给出期望的主导闭环极点的阻尼比和无阻尼自然频率、最大超调量、上升时间和调节时间，这是采用根轨迹法进行设计是很有效的。若原系统或者对于所有的增益值均不稳定，或者虽然属于稳定，但不具有理想的瞬态响应特性。在这种情况下，有必要在虚轴和原点附近，对根轨迹进行修改，以便使闭环主导极点位于复平面内期望的位置上。该问题可以通过在前向传递函数中串联一个适当的超前校正装置来解决。基于根轨迹法的超前校正校正步骤：根据性能指标，确定

3、闭环主导极点的期望位置。绘制根轨迹图，判断是否能通过调节增益使其产生期望的闭环主导极点。如果不能，计算出辐角缺额Ф。对于闭环主导极点，如果新的根轨迹通过其期望的位置，则该角度Ф必须由超前校正装置产生。图5控制系统基于根轨迹法的超前校正校正步骤：α和T由辐角缺额确定，Kc值由开环增益要求确定。如果没有指定静态误差系数，可以确定超前校正装置的极点和零点位置，使超前校正装置产生必要的辐角。如果对系统没有要求，可以试探地将α取得尽可能大。大的α值通常导致比较大的Kv值，这正是我们需要的（如果指定了具体的静态误差系数，则采用频率响应法

4、比较简单）。由幅值条件确定校正系统的开环增益。基于根轨迹法的超前校正说明：一旦设计出校正装置，就要着手检查是不是所有的性能指标都能得到满足。如果已校正的系统不能满足性能指标，则需要通过调整校正装置的极点和零点，重复上述设计过程，直到所有的性能指标得到满足为止。如果需要大的静态误差系数，则应该串联一个滞后网络，或者将超前校正装置改变成滞后-超前校正装置。如果被选择的主导闭环极点不是真正的主导极点，则需要改变此主导闭环极点的位置（主导极点以外的一些闭环极点改变了由主导闭环极点单独作用而获得的响应。变化的大小取决于闭环极点的位置）

5、。基于根轨迹法的超前校正说明：在选择极点和零点的位置方面存在多种可能性。下面介绍求α最大可能值的步骤（比较大的α值将产生比较大的Kv值。在多数情况下，比较大的Kv代表比较好的系统性能）。期望的闭环主导极点0σjω××图9角平分线法滞后校正滞后校正装置的特性基于根轨迹法的滞后校正滞后校正装置的特性滞后校正装置的传递函数基于根轨迹法的滞后校正滞后校正装置的主要作用：在闭环主导极点附近，根轨迹没有明显变化，但是开环增益应根据需要而有显著增大。为了避免根轨迹的显著变化，滞后网络产生的辐角应当限制在较小的范围内，比如说5°。为了保证这

6、一点，我们将滞后网络的极点和零点配置得相距很近，并且使他们靠近s平面上的原点。这样，被校正系统的闭环极点将稍稍偏离原来的位置。因此，瞬态响应特性将变化很小。基于根轨迹法的滞后校正校正步骤：绘制未校正系统的根轨迹图。根据瞬态响应指标，确定主导闭环极点在根轨迹上的位置。计算指定的具体静态误差系数。确定为了满足性能指标而需要增加的静态误差系数。确定滞后校正装置的极点和零点，该滞后校正装置能够使特定的静态误差系数产生必要的增量，同时又不会使原来的根轨迹产生明显的变化（性能指标要求的增益值与未校正系统中求出的增益值之比，就是零点到原点

7、的距离与极点到原点的距离之间所要求的比值）。基于根轨迹法的滞后校正校正步骤：绘制校正系统的根轨迹图。在根轨迹上确定要求的主导闭环极点（如果滞后校正产生的辐角很小，只有几度，原根轨迹和新根轨迹将几乎相同。换句话说，它们之间将存在微小的差别）。然后，根据瞬态响应指标，在新的根轨迹上确定期望的主导闭环极点。根据幅值条件，调整校正装置的增益，使主导闭环极点落在期望的位置上。