42-2 绘制根轨迹的基本规则

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1、§4.1根轨迹法的基本概念§4.2绘制根轨迹的基本法则§4.3广义根轨迹§4.4利用根轨迹分析系统性能§4根轨迹法课程回顾（1）根轨迹系统某一参数由0→∞变化时，闭环极点在s平面相应变化所描绘出来的轨迹闭环极点与开环零点、开环极点及K*均有关相角条件：模值条件：根轨迹方程K与K*的关系闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点课程回顾（2）法则1根轨迹的分支数及起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；当开环极点个数n大于开环零点个数m时，有n-m条根轨迹分支趋向于无穷远处。法则2根轨迹的对称性和连续性：根轨迹连续且对称于实轴。法则3实轴上的根轨迹：从实轴上最右端的开环零点或极点

2、向左算起，奇数开环零、极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。定理:若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。法则4根之和：n-m≥2时，闭环根之和为常数。§4.2绘制根轨迹的基本法则（7）法则5渐近线：n>m时，n-m条根轨迹趋于无穷远处的规律。证明:(1)根轨迹方程p117§4.2绘制根轨迹的基本法则（8）法则5渐近线：n>m时，n-m条根轨迹趋于无穷远处的规律。证明:(2)由相角条件§4.2绘制根轨迹的基本法则（9）法则5渐近线：n>m时，n-m条根轨迹趋于无穷远处的规律。例1系统开环传递函数为，试绘制根轨迹。解

3、：①实轴上的根轨迹：[-2，0]②渐近线：mnzpnimjiia--=åå==11smnka-+=pj)12(1020211-=-+-=--=åå==mnzpnimjiias°±=-+=90)12(mnkapj§4.2绘制根轨迹的基本法则（10）例2系统结构图如图所示。解.(1)②渐近线：①实轴上的根轨迹：[-4,-2],[-1,0]（1）绘制当K*=0→∞时系统的根轨迹；（2）当Re[l1]=-1时，l3=?用根之和法则分析绘制根轨迹：(2)23132410-=-+--=as°±=-+=9013)12(pjka§4.2绘制根轨迹的基本法则（11）法则6分离点与会合点（对应重根）当

4、根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向实轴时，它们在实轴上的交点称为会合点求解根轨迹的分离点和会合点d图4-10根轨迹的分离点和会合点图4-11根轨迹的复数分离点或§4.2绘制根轨迹的基本法则（12）例3单位反馈系统的开环传递函数为解.②渐近线：①实轴上的根轨迹：[-∞,-2],[-1,0]，绘制根轨迹。③分离点：整理得：解得：④与虚轴交点：?13210-=--=as°°±=+=180,603)12(pjka021111=++++ddd02632=++ddîíì-=-=577.1423.021dd385.021423.0*-==++=dd

5、dddK例4一反馈控制系统的开环传递函数为求该系统根轨迹的分离点。解：基于上述的规则，可知该系统的根轨迹有如下的特征：1)有4条根轨迹分支。它们的始点分别为0，－4，。2)由于开环没有零点，因而4条根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷远。这些渐近线与实轴正方向的夹角分别为渐近线与实轴的交点为§4.2绘制根轨迹的基本法则（13）3)实轴上的[-40]线段是根轨迹。4)系统的特征方程式为求得。这表明该系统的根轨迹除了在实轴上有一个分离点外，还有两个共轭复数分离点在处。§4.2绘制根轨迹的基本法则（14）§4.2绘制根轨迹的基本法则（15）法则7与虚轴交点：解法I：1）系统临界稳定点2）s=jw

6、是根的点[接例3]Routh：解法II：稳定范围：0

7、的对称性和连续性法则3实轴上的根轨迹法则4根之和法则6分离点法则7与虚轴交点法则8出射角/入射角例1一反馈控制系统如图4-15所示，试绘制该系统的根轨迹。系统的开环传递函数为与上式对应的特征方程根的轨迹如图4-16所示。p124例题图4-15所示系统的闭环传递函数为其闭环特征方程为不难看出，上式中s=-1这个根与参变量K无关，或者说它不受K的控制；而方括号内多项式的二个根随参变量K的变化而变化。图4-16仅描述了这二个根的轨迹。例3设单位反馈系统的传递函数为解：（1）