4_2_绘制根轨迹图的基本规则

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1、自动控制原理(频域分析部分)航空航天学院肖刚1第四章根轨迹法4－1闭环系统的根轨迹4－2绘制根轨迹图的基本规则4－3控制系统性能的根轨迹分析2（1）寻找满足幅角条件所有的s点，由这些点构成根轨迹；（2）根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的K1值。以开环根迹增益K1为参变量绘制根轨迹的一些基本规则：1.根轨迹的起点和终点起点（）：起始于开环传递函数的极点；终点（）：终止于开环传递函数的零点。包括m个有限远的零点（简称有限零点）和(n-m)个无限远的零点(简称无限零点)。当变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终点，即由开环的极点移向开环的零点。4-2绘制根轨迹的规则3起点：因为当时，说

2、明根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹的一个起点，所以共有n个起点。-4-2绘制根轨迹的规则4终点：（1）有m条根轨迹终止于系统开环传递函数的m个有限零点。当时，我们把这m个零点称之为系统的有限零点。（2）有（n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限零点。当时，上式表明：有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处的零点称之为无限零点。4-2绘制根轨迹的规则5综上所述：系统共有n个开环零点，其中m个为有限零点，（n-m）个为无限零点。每个开环零点都对应根轨迹的一个终点，所以共有n个终点。2、根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开

3、环的极点数。我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由前面的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所有的根轨迹都是有头有尾、有始有终。所以其分支数必等于开环的极点数或系统的阶数。4-2绘制根轨迹的规则63、根轨迹的对称性根轨迹对称于实轴。特征方程的根或为实数，或为复数。必对称于实轴。4、根轨迹的渐近线（s=∞处的根轨迹特征）渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。渐近线于实轴的夹角：(k=0,1,2……)渐近线与实轴的交点：4-2绘制根轨迹的规则7（1）根轨迹渐近线的倾角根据幅角条件：当时，零点、极点与矢量复角可近似看成相等得到所以渐近线的倾角：因共有(n-m)条渐

4、近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。4-2绘制根轨迹的规则8（2）渐近线与实轴的交点幅值条件：当，则对应于，此时，上式可写成：上式左边展开：上式右边展开比较对应s幂项系数相等，求得：所以渐近线相交于同一点4-2绘制根轨迹的规则9五、根轨迹在实轴上的分布实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极点之和必为奇数。在s=0与s=-z1之间的实轴上任取一个试验点s1加以说明。4-2绘制根轨迹的规则10例：已知：试画出根轨迹的大致图形。解：按根轨迹绘制的规则：（1）起点：0，-1，-2；终点：∞，∞，∞。（2）分支数：n=3（3）根轨迹对称于实轴。（4）渐近线：因为本系统中，，所以渐近

5、线共有3条。渐近线的倾角：取k＝0，1，2，得到：4-2绘制根轨迹的规则11渐近线与实轴的交点：（5）根轨迹在实轴上的分布：0~-1，-2~-∞之间。4-2绘制根轨迹的规则126、根轨迹在实轴上的分离点与会合点分离点或会合点的必要条件：式中4-2绘制根轨迹图的基本规则13设系统的开环传递函数4-2绘制根轨迹图的基本规则14根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上的分离点(或会合点)与特征方程式的重根相对应。若为二重根，必同时满足和。因此求得：消去，可得到：便于忘记，上式又可写成：或以上分析没有考虑(且为实数)的约束条件，所以只有满足的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。4

6、-2绘制根轨迹图的基本规则15例:设系统试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。解：系统的开环传递函数：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K＜0，故舍去；s2代入，求得K＞0。所以s2会合点。(舍去)4-2绘制根轨迹图的基本规则16检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点)之间；则个分离点(会合点)。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。4-2绘制根轨迹图的基本规则17四重分离点复数分离点4-2绘制根轨迹图的基本规则18另

7、外两种表达形式：(1)因为令,即得到4-2绘制根轨迹图的基本规则19仍以上例说明:因为令求得(舍去)4-2绘制根轨迹图的基本规则20(2)因为即其中即所以-4-2绘制根轨迹图的基本规则21仍以上例说明:因为消去分母解上式得到经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定要检验，舍去K＜0所对应的值。（舍去）4-2绘制根轨迹图的基本规则22复杂情况用试探