非齐次线性方程组解的结构

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1、§2.4非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组其中令则方程组（*）可表为结论：方程组（*）有解可由线性表出{}≌{}秩{}=秩{}秩(A)=秩()，这里=[A,b]定理非齐次线性方程组有解的充分必要条件是秩=秩()推论当非齐次线性方程组有解时，解无穷多的充分必要条件是秩(A)

2、解向量。定理设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则其一般解为其中是AX=b的一个特解，是导出方程组AX=0的一个基础解系，是t个任意常数。例求下列方程组的一般解解考虑方程组∴一般解为▌例已知非齐次方程组的两个解，求其一般解。解因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩阵A的秩小于等于2。又A的前两行线性无关，说明A的秩大于等于2。由此得秩(A)=2。于是，原方程组的导出方程组AX=0的基础解系含3-2=1个解。可取作为导出方程组的基础解系，取作为原方程组的特解，则原方程组的一般解为思考题设AX=0是非齐次线性方程组AX=b的导出方程组，问▌（1）AX=0有非零解AX=b

3、有无穷多解？（2）AX=b有唯一解AX=0只有零解？小结：1.求线性表出2.判别线性相关性3.求向量组的秩与极大无关组4.求矩阵的秩5.求齐次线性方程组的基础解系6.非齐次线性方程组解的结构例证明：若向量组线性相关，则向量组也线性相关。证明因为可由线性表出，所以秩{}≤秩{}已知线性相关，故有秩{}

4、关。当n为偶数时，A可化为此时，齐次方程组（1）有非零解，故线性相关。▌证明：线性无关。例设是非齐次线性方程组的一个特解，是导出方程组的一组基础解系。令证明令则（1）由此得因为，故（2）于是由式(1)得已知是基础解系，它们线性无关，故再由式(2)得。所以,线性无关。▌例设（1）证明：若AY=b有解，则的任一组解也是的解；（2）证明：AY=b有解无解，其中O是零矩阵。证明（1）设AY=b有解，则存在一个，使。于是，。任取的一个解，则。因故是的解。（2）设有解，则有因故由此得设，则又故由此得所以，方程组AY=b有解。▌例已知四元齐次线性方程组（I）与四元齐次线性方程组（II）

5、的一般解问方程组（I）与（II）有无非零公共解？求它们的全部公共解。解（法一）易得方程组（I）的一般解为设是方程组（I）与（II）的公共解，则存在数使即因向量组线性相关，故存在不全为零的，使上式成立。由此可知，方程组(I)与(II)有非零公解。由上式可得解得其一般解为于是，方程组（I）与（II）的全部公共解为（法二）因方程组（II）的一般解为代入方程组（I）有由此得所以，方程组（I）与（II）的全部公共解为▌例考虑方程组(I)(II)在只能处理3位有效数字的计算机上讨论它的解。讨论首先方程组(I)的理论解为方程组(II)的理论解为1.把舍入为1.01，得的解为的解为2.把

6、1.015舍入为1.02，得的解为的解为上述讨论可得，方程组(Ⅰ)的系数的一个极小变化对解产生很大影响，称这样的方程组为病态的。而方程组(Ⅱ)则无此现象，相应称之为良态的。例（投入产出问题）假设有三户人家，其中一户有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一人是水管工。三家约定合作修理他们的住房。他们共同制订了一个修理计划：每户出一人，工作十天，并且每人工作一天应由三家共同支付工资（包括维修自己的住房）。具体日程表如下出于可以理解的原因，这三户要求满足如下的平衡条件：“每户在十天内的总支出=其总收入”若规定每个工人的日工资在6~8元间浮动，则我们的问题是，如何确定每个工人

7、的日工资数额，以使上述修理计划得以实现。解设分别表示木工、电工、水管工的日工资，则平衡条件可以表示为整理并写成矩阵形式，得所以，是齐次线性方程组的解。不难求出上述方程组的一般解为这里，k是任意常数。根据事先规定的工资浮动范围，可取k=0.2。由此得木工、电工、水管工的日工资分别为6.2元，6.4元，7.2元。▌这个例子有一个显著特征：我们把这三个工人看成一个经济体系中的三个主体（称为企业），他们在获得投入（工资）的前提下，都具有产出（工作）的能力。而且，每个人的产出量（天数）是确定的，但产出的价格（日工资）不确定。我们需要确定