解析几何长度问题的求解策略

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1、36数学通讯——2O13年第1、2期(上半月)·辅教导学·解析几何长度问题的求解策略王文彬(江西省抚州市第一中学，344000)在解析几何问题中，如涉及到线段的长度关系，利用两点间的距离公式往往难以奏效，也非明代人①得赢√2一4五‘智之举．对此类问题，我们通常总是运用向量进行又0≤k<1，由此可得A∈，+。。)．“软着陆”：将线段的长度关系转化为向量关系，进而转化为向量的坐标运算．下面举例说明．例2(2008年安徽卷理22)设椭圆C：X-+例l如图1，已知过点J一1(口>b>o)过点M(√，1)，且左焦点为N(-2，o)的

2、直线z与椭圆+Y=1交于不同的两点一F(一√2，O)．(1)求椭圆C的方程；A，B(点A在N与B之间)，(2)当过点P(4，1)的动直线z与椭圆C交于点M是弦AB的中点，求图1两个不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，满足的取值范围．Il—I商I，证明点Q总在某定直线上．解析设}：==，易知1一，接解析(1)易求得椭圆c的方程为xzy2—T下来将此向量式坐标化．设A(x1，】)，B(x2，2)，M(xo，)，则1．(一2一z0，一Y0)=(zl—z0，Y1一Y0)，(2)将条件变为一匕值为所以一2一z。=(1—35"。)，

3、于是可得A，则一一商，一商．：旦：①再设A(x1，Y1)，B(x2，Y2)，Q(，)，贝0直线l的方程可设为Y—k(z+2)，与椭圆方(4一l，1一Y1)一一(z2—4，Y2—1)，程联立得(z—X1，Y—Y1)一(z2一，Y2一)．(1十2矗。)十8kz+8k一2=0．由此得l令A一(8k)一4(1+2k。)(8忌～2)>0，可得4一等①足。<专．一一②由韦达定理有．8忌08是0——2zl十z2：：=一研z2‘z一1③图2故z。：一，：==④(zz—z)：(+zz)。一4zz2一．以下设法消去z，z，y，Y。，，求得，之

4、问的关系．而z>z。，所以z一z一，而由于点A，B都在椭圆C上，故有z{+2y}一4，z；+2yi=4．2=：=2一一，①×③得·辅教导学·数学通讯——2O13年第1、2期(上半月)37例4已知动圆M过定点P(O，)(m>O)，4z一车⑤且与直线z。：一一m相切，动圆圆心M的轨迹方②×④得=⑥⑨+⑥X2得的取值范围．＼＼＼二p14z均一解析容易求得曲线C的化简得2x+Y一2—0．方程为一4my．故点Q总在直线2+Y一2：0上．设，一例3已知曲线c：+：1(≠o)，直线z，A(x，Ya)，B(x2，)，则由一得(一zs，)的

5、斜率为，且过点M(0，一2)，若直线l与曲线C交一1(xl一砖，Y1)，所以m—1Y1．同理可得m一,lzY2．于不同的两点A，B，且IMAI．1墙I一，求曲线c于是有1=，2=，故．的方程．Y12解析由IMAI．IMBl一可知．商+A：一(+)一．Y1Yz1Yz设z2：Y===+m，与。一4my联立得一一号或一号，直线z的方程为一一2．(2m+4)+。=0，所以+Y2—2m+4。，YlY2===．由j一_。ll僦+Y一代入一2+4k。>2，所以+(m+2)x。一4+4一m=0．m+Z≠。{__的取值范围为(2，+∞)．令

6、I>2或<。(77l≠一2)．l△>。例5已知直线l：Y一2一设A(xl，Y1)，B(x2，Y2)，则4与抛物线Y。一4x交于点A，B，。4√24一m1十2——+2’1z2m—+—2’过弦AB上任意一点P(不含端lm点A，B)作斜率为一2的直线Z～ol+2=,／g(z1+2)一4，交抛物线于C，D两点，求证：YlY2—2zlz2—2~／(zl+2)+4．IPAI．IPBI—IPC1．1PDI．／①当j．商一昙时，有(z，。+2)(z。，。解析设—lPA卜图41PBJ，A(x1，1)，B(x2，Y2)，则QQ+2)一号，即z

7、l2+Y12+2(l+2)+4一音，一一商．商于是可得3zz一9一一(zl—t，y1—2t+4)(2一t，Y2—2t+4)，即_一9，解得一詈一一(z1一t，2zl一2t)(2一t，2z2—2t)(舍去)．一5t(scl+2)一5l2—5t。．②当．商一一昙时，有(，+2)(z，由{。4。+4_o，故OY2+2)=一÷，即l2+YlY2+2(y1+Y2)+4zl+z2—5，12=4．代入上式得一25t一2O一5。．一一一一号÷，所以3z。zz一一号詈，即=一百9，解得又直线Z1的方程为一2￡+4===一2(z一)，即m=一

8、14．一一2x+4t一4．设=I尸C【．1PDf，C(x。，蛐)，D(x4，故曲线c的方程为z。一14—1．Y)，则38数学通讯——2O13年第1、2期(上半月)·辅教导学·“=一．-P-5所以一，原命题得证．一一(3一t，Y3—2t+4)(4一t，Y4—2t+4)从上面所举的例子可看到，在将长度关系向