几类未定式的k阶无穷小替换-论文.pdf

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1、第9卷第2期北京教育学院学报Vo1．9No．22014年6月JOURNALOFBEHINGINSTITUTEOFEDUCATIONJtn．2014几类未定式的k阶无穷小替换顾艳红罗宝华张桂芳(北京林业大学理学院数学系，北京，100083)摘要：应用极限的运算法则及等价无穷小替换定理，对几类幂指型及有关的未定式，把其中的无穷小用其k阶无穷小替换后，得到了未定式极限的变化规律，最后应用所得结论解决了几个未定式求极限问题．关键词：未定式；极限；．j}阶无穷小中图分类号：0171文献标识码：A文章编号：1673—6923(2014)02—0001一o5O引言对于型的未定式，对其中的无穷小因式

2、用其等价无穷小替换后，极限保持不变，这是罟型未定式求极限的一种常用方法。在一定的条件下，一些其它形式的未定式中的无穷小用其等价无穷小替换后极限也保持不变，参考文献s对此做了探诗．本文主要讨论在几类幂指型及有关的未定式中，把其中的无穷小用其k阶无穷小替换后引起未定式极限的变化规律，推广了参考文献[1]中的相关结论，并介绍了理论的应用。定义0．1E当一。时，厂()，g()均为无穷小，如果lim=c≠0，>0，就称当一—0g。时，)是关于g()的阶无穷小；如果0茜，=1，就称当戈。时，)与g()是等价无穷小，记作)～g()．引理O．1(等价无穷小替换定理)设在自变量的同一变化过程中，～，，

3、卢一卢Klim／T，存在，则lim旦：lim．引理o．2设函数)，()在(‰)有定义，且满足以下条件：·收稿日期：2014-03—28基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助YX2013—32；北京林业大学“近世代数”课程建设项目。+·作者简介：顾艳红(1975一)，女，湖南湘阴县人，北京林业大学数学系副教授。罗宝华(1972一)，女，湖南新化县人，北京林业大学数学系讲师。张桂芳(1973一)，女，陕西旬阳县人，北京林业大学数学系副教授。北京教育学院学报①X∈U(x0)时，戈)，g(x)>0；②当时，)，g()均为无穷小，且)是关于g()的k阶无穷小(>0)，则11，、—lnf(

4、—x)—king—(x)(。)‘证明由已知条件有l—imog未：c≠0，故l妒imolngL未戈：lnc，从而上1n+lng()‘，，、，lim一。工king(x)==÷：豢+，所以i南～0)．引理o．3设函数)，g()在(。)有定义，当。时，，()，g()均为无穷小，且)是关于g()的k阶无穷小(后>0)，则当。时，In[1+)]是关于In[1+g()]的k阶无穷小．证明当时，In[1+)]～)，In[1+g()]一g()，Y-Eh已知条件有lira=c≠0，—0g根据引理。．1，得矗≠=limgf(x)i：c，结论成立．1主要结论定理1．1设函数X)，g(x)，()，()在(。)

5、有定义，且满足以下条件：①当_+。时，)，g(x)均为无穷小，且，()是关于g(x)的k。阶无穷小(kt>0)；②当。时，()，()均为无穷小，()是关于()的k：阶无穷小(>o)，且辩一：(1)设∈U()时，，(戈)，g()>0，且lim~b(x)lng(x)=A，则当k2>1时，limqfx)l)=0；当k2=1时，lim~(x)lnf()=c2klA；当00，且limg(x)‘’=A，则当k2>1时，limf(x)‘=1；顾艳红罗宝华张桂芳：几类未定式的k阶无穷小替换当k2=

6、1时，则limf~)=A；—。当00，且lim[]’=，则x--~0gLJ当z>埘，[志=1；当k2=埘，则[志=；当01时，lim[~b(x)k-1=0，因此limq~(x)lI)=O当2=1时，limq~(x)lnf(x)=c2klA；当0

7、[()]=∞，又由于limC,(x)lng(x)=A≠0，所以liI(x)Inf()=a。．x-~0。综上可知，结论(1)成立．(2)根据复合函数的极限运算法则，有limg(x)‘’=elira‘增‘。limf(x)()=er'~qfx)lnf(x)．由定理1．1(1)即得k2≥1时的结论；当00，[()]=+∞，由定理1·1(1)证明中的()式可知limtp()Inf()=一∞，所以—。limf