等价无穷小替换的实质

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1、等价无穷小替换的实质陈玉发（河南郑州郑州职业技术学院450121）摘要：在利用等价无穷小替换进行极限运算时，出现了“悖论”．产生悖论的原因是因为使用者没有真正理解等价无穷小替换的实质．可以从代数变换的角度理解等价无穷小替换的实质，也可以从函数的幂级数逼近理解等价无穷小替换．理解了替换的实质，在运算中就可以避免出错．关键词：不定式极限等价无穷小替换代数变换幂级数（作者简介：陈玉发，男，河南省荥阳市人．汉族，出生于1969年5月．工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士．从事数学教育研究．邮编：450121．E-mail:cyf01969@sina.com．）两

2、个无穷小（大）量之比的极限，可能存在，也可能不存在，因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记为型或型的不定式极限【1】．除此之外，还有其它5种类型的不定式极限，最终都是通过适当的代数变换，转化为型或型的不定式极限．在计算不定式极限时，等价无穷小替换是一种简化运算的有效手段．但是，任何方法都有它的局限性，等价无穷小替换也不例外．1．等价无穷小替换的“悖论”例1．计算极限．解Ⅰ用罗比达法则：原式．（1）解Ⅱ利用等价无穷小替换：原式（在时，．（2）于是，（1）和（2）形成了“悖论”．解Ⅰ的过程没有问题．解Ⅱ的问题在于运用等价无穷小替换

3、时，没有理解等价无穷小替换的实质．下面就讨论一下等价无穷小替换的实质．2．从代数变换的角度看等价无穷小替换我们先看一下等价无穷小替换法则：设在时，与是等价无穷小即，．（1）(或)；（2）(或)．则（1）(或)；（2）(或)【２】．等价无穷小替换的实质是代数变换中的恒等变换，即．另外，极限的运算法则中，函数乘积的极限等于极限的乘积，这个法则仅适用于有限多个函数，对于无限多个函数乘积的极限，这个法则不适用．例如，不等于．在上面的解Ⅱ中，仅考虑了，而忽略了，因而导致了错误的结果．事实上，在解Ⅱ中．而（这里仍用等价无穷小替换：时，）．在中，，所以．于是，所以，原式．

4、从代数变换的角度看，等价无穷小替换的实质是：在算式中，为了使算式恒等，乘以一个与其等价的无穷小，再除以一个与其等价的无穷小，实质上相当于乘了一个极限为“1”的变量．当被替换的变量的次数有限时，根据极限的运算法则可知，这样的变换不影响极限运算的结果．如果被替换的变量的次数是“”时，如例1，因为极限是“1”的变量的无穷大次幂不再是1，因此，此时要慎用等价无穷小替换．3．从函数的幂级数逼近的角度看等价无穷小替换从函数逼近的角度来看，等价无穷的实质为：若，均是无穷小量，且，其中是的高阶无穷小，则．如果在时，，且，这时，在极限运算中，可以用替换或用替换．其实，我们常见

5、的等价无穷小，都是函数的幂级数逼近，如：在极限运算中，我们就是用以上函数的幂级数展开式中的第一项来替换原函数，达到简化极限运算的目的．后边的余项是比第一项高阶的无穷小．但是，无穷小的阶的高低是相对的，如果在算式中，有无穷大因子，那么，在使用等价无穷小替换时就要特别注意．例2．求极限错解：因为在时，，所以原式事实上，原式而所以在例2中，出错的原因是因为在进行代换时，仅取了函数的幂级数的第一项，把后边的项忽略了，导致了比较大的误差．可见，在利用等价无穷小代换进行极限运算时，涉及到无穷次幂时，一定要考虑余项的阶数．比较例2的解法和前面的计算方法可以看出，在计算不定

6、式极限时，等价无穷小替换在简化不定式极限的计算方面还是非常有效的．一般地，在不定式极限的运算中，对于“”类型的极限运算，若要利用等价无穷小进行替换，一定要谨慎．对于此类极限一般是借助于指数与对数的关系，转换为“”类型的极限．由于在算式中有无穷大因子，因此，用幂级数逼近函数时，要注意余项是比无穷大因子的倒数高阶的无穷小．参考文献：【1】华东师范大学数学系．数学分析（上册）（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2006.5．第127页．【2】王向东．数学分析的概念与方法【M】．上海：上海科学技术文献出版社，1989.10，第196页．