与圆有关的试题分类探究.pdf

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1、第7期何继斌：与圆有关的试题分类探究·l3·与圆有关的试题分类探究●何继斌(杭州文海实验学校浙江杭州310018)圆是各地中考和竞赛的重要知识之一，且遍布角形，再根据相似三角形的性质判定角的等量关各种题型，既涉及计算、论证，又涉及探索以及操作系．圆中角的等量关系给解决图形的相似或全等提题等，考查的知识点侧重于与圆有关的角、计算等．供了条件．近几年的竞赛或中考试题中，与圆有关的试题在沿袭传统的题型外，还加大了探索、创新的力度，特别是增加了与圆有关的动态问题、圆与代数的综合题F等．＼＼＼—／／／④＼＼＼／／／。在解决

2、与圆有关的问题时，除了要能灵活运用所学知识外，还要注意与其他知识的联系，注意数图1图2学思想方法的运用．圆是数学中思想方法比较集中题型2垂径定理的应用的知识点之一，如转化思想、方程思想、分类思想、圆是轴对称图形，根据这一特征可以得到“垂整体思想等．本文仅对近几年全国各地区初中数学径定理”这一应用非常广泛的重要定理．利用垂径竞赛及中考中与圆有关的试题进行分类研究，以供定理可以解决有关线段长度的计算、比例关系的证参考．明以及其他与圆有关的综合性问题．题型1与圆有关的角例2如图2，点A在半径为2O的O0上，以圆心角、圆

3、周角、弦切角以_及它们的大小与所OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交O0对(或所夹)弧的度数之间的关系是圆中最基本的于点D，E．若OC=12，则线段CE，BD的长度差是数量关系，也是解决与角有关的几何问题的重要知识点，是证明与圆有关结论的常用工具．(2012年全国初中数学联赛试题)例1如图1，在~ABCD中，E为对角线BD解设DE的中点为，联结OM，则OM上上一点，且满足／__ECD=LACB，AC的延长线与DE．因为OB=,／2o一12=16，所以AABD的外接圆交于点F．证明：D肥=A朋．(2014年

4、全国初中数学联赛福建赛区试题)D===警，解在czMBCD中，AD#8c，从而LACB=LDAF．LBDC=／ABD．从而CM：：警，BM=，因为LABD：AFD，EcD=LACB，所以故CE—BD=(EM—CM)一(DM—BM)=DAF=LECD，LBDC：LAFD，BM—c：一：孕．于是△DCE'-"△FAD，点评对于圆中有关线段长度的计算或比较，CD田lu一DE—DF‘垂径定理是常用方法之一．应用垂径定理的关键在又在~ABCD中，CD=AB，从而于有效利用弦、弦心距和圆的半径(直径)之间的AB关系，其中勾股

5、定理以及直角三角形的其他性质是一一DE—D解决此类问题的辅助工具之一．由F=JD，得题型3圆的切线AABF'-"△DEF．直线与圆的位置关系是圆的重点知识，尤其是故LDFE=A朋．直线与圆相切时更具大量有用信息．切线的判定与点评本题图形比较复杂，关键是根据圆中角性质、弦切角与圆周角的关系、切线长定理、圆幂定的相等关系，并结合平行四边形的性质找出相似三·14·中学教研(数学)理等都是竞赛数学的常用知识．成同侧共底的2个三角形的顶角相等；(2)圆内接例3如图3，已知AB是四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于

6、oD的直径，弦CD与AB交于点内对角．这3个性质提供了圆中角之间的数量关E，过点A作圆的切线与CD的延A／E0系，为解决与角有关的计算或证明提供了条件．例4设AABC的外心、垂心分别为0，H，若长线交于点F．若DE=÷CE，叶I点B，C，H，0共圆，则对于所有的AABC，求／BACAC=8，D为EF的中点，则F所有可能的度数．AB：．图3(2013年全国初中数学联赛试题)(2011年全国初中数学联赛试题)解分3种情况讨论：解设CE=4x，AE=y，则(1)如图4，若AABC为锐角三角形，则DF=DE=3x．EF=

7、6x．／_BHC=180。一A．／_BOC=2A联结AD，BC，因为AB为o0的直径，AF为o0的由BHC=BOC，得切线，所以180。一A=2／_A．F=90。．／ACD=／_DAF．于是A=6O。．又因为D为Rt／XAEF斜边EF的中点，所以ADA=DE=DF．从而DAF：AFD，于是ACD=A肋，BC因此AF=AC=8√5．在Rt△A中，由勾股定理得F2：AE+A．图4图5即36x=_y+320．(2)如图5，若AABC为钝角三角形，则设BE=，由相交弦定理得。(当／_A>90。时，B月c=180。一A，C

8、E·DE=AE·BE．／_BOC=2(180。一A)，由／_BHC+／_BOC=即yz=4x·3x=12x．180。，得从而+320=3yz．·(1)3(180。一A)=180。，，由AD=DE，得于是A=120。．／_DAE=／_AED，②当A<90。时，不妨设／_B>90。，则又／_DAE=B∞，／_AED=／_BEC，从而BHC=／_A．／_BOC=2A．／_BCE