一类取整函数的极小值问题研究.pdf

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1、西北大学学报(自然科学版)2014年8月，第44卷第4期，Aug．，2014，Vo1．44，No．4JournalofNorthwestUniversity(NaturalScienceEdition)·数理科学与信息科学·一类取整函数的极小值问题研究魏宗田，程子潇，刘勇(1．西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055；2．西北大学经济管理学院，陕西西安710069)摘要：取整函数经常出现在组合优化问题的模型中。由于求极值的困难性，制约了其实际应用。为解决这一难题，文中提出两类常用取整函数的极小值问题，并用微分与差分的方法求得它们的极小值点

2、与极小值。使用的方法和结论具有一般性，对求其他类型的取整函数极值问题具有积极作用。关键词：取整函数；性质；微分；差分；极小值中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1000—274X(2014)04-0517-04．TheminimalvalueissueofaclassofintegralfunctionsWEIZong—tian，CHENGZi—xiao，LIUYong(1．DepartmentofMathematics，XianUniversityofArchitectureandTechnology，Xiall710055，Chi

3、na；2．SchoolofEconomicsandManagement，NorthwestUniversity，Xian,710069，China)Abstract：Theintegralfuctionsoftenappearinthemodelsofoptimizationissues．Howerer，becauseofthesolvingcomplexity，theirapplicationsareconstrainedtoacertainextent．Forthesakeofsolvingtheproblem，thispaperputs

4、forwaodstwotypesofintegralfunctionsandgivestheminimalpointsandvaluesbythemethodofdifferentialanddiffereree．Themethodandconclusioninthispaperhaveageneralsignificance，SOitcanbeappliedtosolveotherextremeintegralfunctionproblems．Keywords：integralfunction；property；difference；dif

5、ferential；minimalvalue取整函数有上取整函数与下取整函数两类，定义1对实数，定义上取整函数r]为不后者亦称为高斯函数，是由高斯首先提出并研究小于的最小整数；下取整函数Lx]为不大于的的。取整函数是一类在实际中常用的函数，如在最大整数。由定义，当为整数时，Fx]=L=离散数学、计算机算法分析、微积分中，经常会看；当为非整数时，r]=Ix]+1。到取整函数的身影。此外，取整函数在图论、数近年来，国内研究取整函数性质及其应用的论、组合数学以及代数学等数学学科中都有重要文献很多，但是极值问题研究很少。以下是本文应用¨J。而取整函数

6、的不连续性，使得其极值将要用到的取整函数的主要性质J。问题不能用导数来解决，因而没有“统一”的方性质1r+n]=Fx]+n，L+n=LJ法，比连续函数极值问题要复杂得多。本文主要+n其中n为整数。讨论了在算法分析中常用到的两类取整函数极小性质2若≥Y，则Fx]≥Fyl，Lxl≥Ly3。值的求法。性质3r+y]≤Fx]+I-y7，L+yj≥Lj收稿日期：2013—11基金项目：国家自然科学基金资助项目(11271300)；陕西省自然科学基金资助项目(2012JC2-03)；陕西省教育厅专项科研计划基金资助项目(12JK0888，12JK0861

7、)作者简介：魏宗田，男，西安建筑科技大学副教授，博士，从事图论、组合最优化理论及其应用研究。·518·西北大学学报(自然科学版)第44卷+LyJ。r佩)=F4~-7+rF／”E1：11主要结果⋯+r]=⋯+r1=2id+d。+1本节主要研究取整函数)=+r旦]和i+1+1+i一1+1=2i+1=F2471。)=+r]求极小值的问题，其中，m，这又表明，当=r]时，)有极小值r2均为正整数。]，定理成立。定理1设，n均为正整数，则当=引理1IS]对任意正整数m，当≥时，r佩时，函数)=+r号]取到极小值r2有r]一r]≤1。]。引理2设m，n和

8、均为正整数，则函数证明假若为正数，n为正整数，易知当-厂()=+nr]当≤LJ时单调递减；当=时，函数)=+旦取得极小值2。≥m时单调递增。由上取整函数的定义与性质