怎样求y=Asin(ωx+ψ)的解析式.doc

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1、怎样求y=Asin(ωx+)的解析式学习了正弦函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)后，经常会遇到确定其解析式的问题。这里振幅A常由函数的最值确定，ω则由周期公式T=来求得，问题的关键是求初相。本文介绍确定正弦函数解析式的两种基本方法。一、待定系数法分析正弦曲线y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)满足的几何条件，列出关于A、ω、的三个方程，从而解出A、ω、，这就是待定系数法。例1若函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0，0<<2π)的最小值是－2，周期为，且它的图象经过点(0,－)，求此函数的解析式。解析：∵函数的最

2、小值是－2，∴A=

3、－2

4、=2。∵函数的周期是，∴=，解得ω=3。∵函数的图象经过点(0,－),∴将x=0，y=－及A=2代入y=Asin(ωx+)得－=2sin，sin=－.∵0<<2π，∴y=或。故所求函数的解析式是：y=2sin(3x+)或y=2sin(3x+)例2已知函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)的图象如图1所示，求此函数的解析式。分析：由图1提供的信息，正弦曲线相邻的最大、最小值之间为周期的。ABCxy0－2AA图1∴=－=，即T=，∴ω==又显然有A=2，下面只须求初相。设曲线与x轴交C，易知，C(,0)

5、将A=2，ω=，x=，y=0代入y=Asin(ωx+)得0=2sin(+)。∴=kπ－，(k∈Z)。注意到y=Asin(ωx+)的图象是由y=sinx的图象，经过振幅、周期变换，且向右平移而得，当k=0时，在区间[－π,π]上有解。∴=－，故函数的解析式是y=2sin(x－)。二、平移变换我们知道，设A>0，ω>0，正弦函数y=Asin(ωx+)=Asin[ω(x+)]的图象，可以看成是由函数y=sinx的图象经过下面变换而得到：y=sinx的图象→y=Asinx的图象（振幅变换）→y=Asinωx的图象（周期变换）→y=Asin

6、[ω(x+)]的图象（平移变换），这里抓住特殊点的平移来求。例3图2是正弦曲线y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)的一个周期的图象，试求此函数的解析式。x0y-π0图2分析这里=，∴T=3π，ω=。∵函数的图象可以看成是y=sinx的图象经过振幅变换、周期变换后，再向左平移个单位。∴=，即=·=。下面只须再由图象过点(0,－)来确定A。将x=0，y=－及=代入y=Asin(ωx+)得－=Asin，A=2，故函数的解析式是y=2sin(x+)。评注：由y=Asinωx的图象经过平移得到y=Asin[ω(x+)]的图象，可从图像上

7、特殊点的变化得到平移的规则，如本题中向左平移个单位等。三、“五点法”我们知道，用“五点法”作函数y=Asin(ωx+)的简图，主要是作变量代换X=ωx+，由X取0，，π，，2π来求出对应的x的值，确定图象五个关键点的位置。而求其表达式，则相当于X，x已知，求ω与。例4如图3，写出函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)的一个表达式。026－2xy解析：易知A=2，令X=ωx+。图象中的特征点(2,－2)，(6,0)对应y=sinX图象中五个关键点的两点(,－1)，(2π,0)，因此，，解得∴y=2sin(x+)评注：建立x，X

8、对应点间的联系，必须注意特征点是与y=sinx图象上五个关键点中(0,0)，(,1)，(π,0)，(,－1)，(2π,0)的哪一个相对应，如当ω·2+=时，只能有ω·6+=2π。而已知图象求表达式，答案是不唯一的，但只是值不同，可以相差2kπ(k∈Z)。如当ω·6+=0时，由ω·2+=也可解得：ω=，=－。