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1、八年级数学·上新课标[冀教]第十七章 特殊三角形学习新知检测反馈17.4直角三角形全等的判定三角形全等的判定方法有哪些?复习巩固SSS(三边对应相等的两个三角形全等)ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等)SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等)AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)复习巩固有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等?你能通过画图说明理由吗?如图(1)所示,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三角形.所有的直角三角形都全等吗?学习新知1.画一线段AB,使它等于4cm;2.画∠EAB=90
2、°;3.以点B为圆心,以5cm长为半径画弧,交射线AE于点C;4.连接BC.△ABC即为所求,如图(2)所示.如何证明：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为HL(或斜边、直角边).如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,已知∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.由于直角边AC=A'C',我们移动其中的Rt△ABC,使点A与点A'、点C与点C'重合,且使点B与点B'分别位于线段A'C'的两侧.因为∠ACB=∠A'C'B'=90°,所以∠B'C'B=∠ACB+∠A'C'B'=180°,因此点B,C',B'在同一条直线上,于是在△A'B'B中
3、,由AB=A'B'(已知),得∠B=∠B'.由“角角边”便可知这两个三角形全等,于是可得已知一直角边和斜边,用尺规作直角三角形.已知:如图所示,线段a,c.求作:△ABC,使∠C=90°,BC=a,AB=c.作法:如图所示.(1)作线段CB=a.(2)过点C,作MC⊥BC.(3)以B为圆心,c为半径画弧,交CM于点A.(4)连接AB.则△ABC即为所求.分析:首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线,由AB=c可以确定点A.结论:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等已知:如图(1)所示,点P在∠AOB的内部,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,且PC=PD.
4、求证:点P在∠AOB的平分线上.证明:如图(2)所示,作射线OP.∵PC⊥OA,PD⊥OB.∴∠PCO=∠PDO=90°,在Rt△OPC和Rt△OPD中,∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分线,即点P在∠AOB的平分线上.PC=PDOP=OP思考:这个命题与角平分线的性质定理有什么区别?通过这道题,你能得到怎样的结论?归纳:角平分线性质定理的逆定理:到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.例：(补充例题)如图所示,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证BC=AD.〔解析〕欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角
5、形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO(O为DB,AC的交点),经过分析,△ABD和△BAC具备全等的条件.证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD.∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.AB=BAAC=BD想一想:你能用几种方法判定两个直角三角形全等?直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”.练一练:1.如图所示,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?
6、请说明你的理由.2.如图所示,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?下面是三名同学解决第2题的思考过程,你能明白他们的意思吗?(2)有一条直角边和斜边对应相等,所以Rt△ABC与Rt△DEF全等.所以∠ABC=∠DEF,所以∠ABC+∠DFE=90°.(3)在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,所以AB=DE,因此这两个直角三角形是全等的,所以∠ABC=∠DEF,所以∠ABC+∠DFE=90°.CB=EFAC=DF∠CAB=∠FDE=90°Rt△ABC≌Rt△DEF→∠ABC=∠
7、DEF→∠ABC+∠DFE=90°课堂小结斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它.同时,直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法,所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.检测反馈1.能判定两个直角三角形全等的条件是()A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C.一条边对应相等D.
