导数综合应用.doc

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1、导数综合应用一、导数的应用　　导数的应用包括以下几个方面：1．判定函数单调性　　结论：对于定义在区间（a，b）上且处处可导的函数，　　（1）为增函数；　　（2）为减函数.　　注意：不是充分必要条件.例如，是单调递增函数，但.2．求函数在给定区间上的极值　　结论：对于定义在区间（a，b）上且处处可导的函数，　　（1）若x=x0是的极值点，则；　　（2）结合函数图象来具体判定x=x0是的极大值点或极小值点.　　注意：“”只是“x=x0是的极值点”的必要不充分条件，例如，对于函数，，但x=0不是函数的极值点.3．求函数在给定区间上的最值　　结论：对于定义在区间[a，b]上且在（a，b）上

2、处处可导的函数，的最值可能在极值点或区间端点取到.　　注意：列表表示解答过程.二、导数应用的例题　　1．已知a≥0，函数.　　（1）当x为何值时，取得最小值？证明你的结论；　　（2）设在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.　　分析：　　（1）的定义域为（－∞，+∞）.由导数应用可知，结合的单调性，的最值可能在极值　　　　点或区间端点取到.所以应考虑x→±∞时的取值.　　（2）由（1）确定了的单调性，就可以确定在[－1，1]上的单调性了.　　解析：　　（1）　　　　令，解得，且　　　　当x变化时，列表如下：x(－∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)+0－0+↑　↓　↑

3、　　　　又当x＜0时，　　　　当x=x2时，　　　　∴，即当x=x2时，取最小值.　　（2）由（1）知若在[－1，1]上单调递减　　　　则x2≥1即　　　　解不等式得　　反思：　　（1）结合图形来判断函数最值的情况.事实上，函数图象草图如图所示.　　　　　　　　　　　　　　　　（2）准确分析的极值点的范围有助于确定在给定区间的单调性.　　2．已知在x=1与x=－2时都取得极值.　　（1）求a，b的值；　　（2）若x∈[－3，2]都有恒成立，求c的取值范围.　　分析：　　（1）已知的极值点，即已知的零点　　（2），问题即转化为求解在[－3，2]上的最小值.　　解析：　　（1）　　　　

4、由已知，解得　　（2），　　　　令，解得x1=－2，x2=1　　　　当x变化时，列表如下：x－3(－3,－2)－2(－2,1)1(1,2)2　+0－0+　　↑　↓　↑　　　　　　　　　∴，∴　　　　解得　　反思：利用函数最值比较不等式.　　3．已知定义在正实数集上的函数，，其中a＞0.设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同.　　（1）用a表示b，并求b的最大值；　　（2）求证：（）　　分析：　　（1）与在公共点处切线相同，则函数在该点导数相等.　　（2）构造辅助函数，则只需.　　解析：　　（1），　　　　令，解得x=a或x=－3a　　　　由已知x＞0，∴x=a　　　　又，∴，∴　

5、　　　设　　　　令，∴　　　　当a变化时，列表如下：a+0－↑　↓　　　　∴　　（2）令　　　　　　　　令，解得x=a或x=－3a（舍）　　　　当x变化时列表如下x(0,a)a(a,+∞）－0+↓　↑　　　　∴　　　　∴当x＞0时，即　　4．已知，.　　（1）求的值域；　　（2）设a≥1，函数，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，　　　　使得成立，求a的取值范围.　　分析：　　（1）常规问题；　　（2）由题可知，只需满足即且　　解析：　　（1）　　　　令，解得x1=1，（舍）　　　　∴在[0，1]单调递减　　　　∴，，　　　　的值域为[―4，－3]　

6、　（2）　　　　令，解得x1=0，x2=2a（舍）　　　　∴在[0，1]单调递减　　　　∴，　　　　由已知，解得　　反思：　　（1）对于第（2）问，对两个量词（“任意”“存在”）的理解.　　（2）若将第（2）问改为：若对于任意x1∈[0，1]，任意x0∈[0，1]，使得，则需要满足　　　　的条件即为.一方面要注意与例3的联系与差别，另一方面例3的第（2）问并不　　　　等价于.如图所示，任意，但.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5．已知函数有三个极值点.　　（1）证明：－27＜c＜5；　　（2）若存在实数c，使函数在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围.　　分析：　　

7、（1）有三个极值点，则有三个零点.　　（2）在[a，a+2]单调递减，则.　　解析：　　（1），令　　　　∴　　　　令，∴x＜－3或x＞1　　　　即在（－∞，－3），（1，+∞）单调递增　　　　∴若在3个极值点　　　　则，即　　　　∴－27＜c＜5　　（2）由题意可知，任意x∈[a，a+2]有恒成立　　　　∴对任意x∈[a，a+2]成立　　　　由已知，存在c∈(－27，5)使上述不等式成立　　　　则只需对任意x∈[a，a+2]成立　　　　令，x∈[a，a+2]