山东省2013年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形 理.doc

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1、专题三　三角函数及解三角形第2讲　三角恒等变换及解三角形真题试做1．(2012·重庆高考，理5)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)．A．－3B．－1C．1D．32．(2012·山东高考，理7)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)．A．B．C．D．3．(2012·天津高考，理6)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝(　　)．A．B．－C．±D．4．(2012·湖北高考，理11)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝a

2、b，则角C＝________.5．(2012·课标全国高考，理17)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公

3、式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一　三角恒等变换及求值【例1】(2012·山东淄博一模，17)已知函数f(x)＝2cos2－sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．规律方法明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常

4、值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如是的二倍角，α＋β是的二倍角等；②＝－，α＝(α－β)＋β等；③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，cosα＝-10-等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)角的合成及三角函数名的统一：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).变式训练1(2012·山东济宁模拟，17)已知函数f(x)＝sinωx

5、－cosωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝－，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．热点二　三角函数、三角形与向量等知识的交会【例2】(2012·山东烟台适用性测试一，理17)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos的值域．规律方法以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正、余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角

6、的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的范围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2(2012·湖北武汉4月调研，18)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，cos(B＋C)＝－.(1)求cosC

7、的值；(2)若a＝5，求△ABC的面积．热点三　正、余弦定理的实际应用【例3】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段．现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A，B分别设在公路上离市中心O多远处才能使A，B之间的距离最短？并求最短距离．(结果保留根号)规律方法(1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(