第三章静态电磁场及..

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1、第3章静态电磁场及其边值问题的解3.1静电场分析◇以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。◇首先建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数;导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程；确立电场的边界条件。◇最后讨论电容的计算，电场能量的计算。3.1.1静电场的基本方程和边界条件3.1.2电位函数3.1.3导体系统的电容3.1.4静电场的能量3.1.5静电力3.1.1静电场的基本方程◇关系式称为真空的电特性方程或本构关系◇静电场的源变量是电荷◇第2章中已由库仑定律引入了电荷产生的电场强度◇任意电荷分布产生的电场强度◇定义任意电荷

2、分布产生的电位移矢量表示闭合曲面S对点电荷所在点张的立体角对任意闭合曲面S积分一、电场的散度设空间存在一点电荷，则点的电位移所以在闭合面内在闭合面外若闭合面内有N个点电荷若闭合面内的电荷分布为真空中的高斯定律散度定理于是电场的散度方程（高斯定理的微分形式）二、电场的旋度真空中电场的基本方程在点电荷的电场中，任取一条曲线，积分当积分路径是闭合曲线，A、B两点重合，得斯托克斯定理当当补充例题电荷按体密度分布于半径为a的球形区域内，其中为常数。试计算球内外的电位移矢量。解:电场具有球对称性，于是于是2.边界条件直角坐标系3.1.2电位函数1.电位和电位差由，称为静电场的

3、标量位函数，又称电位函数◇由此可求得电位的微分在任意方向上的分量◇◇空间A、B两点的电位差◇若选取为电位参（即），则任意点的电位为◇对于点电荷的电场，其电位为◇体电荷、面电荷、线电荷产生的电位分别为若取处的电位为零，则解：取如图所示坐标系，场点的电位等于两个点电荷电位的叠加而当因此由于得电偶极子的电位电偶极子的电场强度例3.1.1求电偶极子的电位(教材例3.3.1)。2.静电位的微分方程（泊松方程拉普拉斯方程）由在直角坐标系中电位的泊松方程若空间电荷分布为零，则有电位满足的拉普拉斯方程补充例题半径为a的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电

4、位。解：◇球外空间的电位满足拉氏方程◇电位满足的边界条件由题意可知电位及电场具有球对称性在球坐标系下直接积分因此电位的边界条件：例3.1.3两块无限大接地导体板分别位于x=0,x=a处，在两块导体板间oxyba补充内容：点电荷的函数表示格林函数◇为表示点电荷的体密度，引入函数◇于是位于处的点电荷q的体密度为◇单位点电荷产生的电位满足的泊松方程◇定义格林函数格林定理泊松方程的积分公式格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理设而得格林第一恒等式同理，若设格林第一恒等式表示为——格林第二恒等式利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解以上

5、公式说明，只要知道区域内的电荷分布以及区域边界面上的电位和电位梯度值，就可求出区域内的电位分布。惟一性定理◇静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。◇可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就是边值问题的惟一性定理◇实际边值问题的边界条件分为三类第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件◇惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。◇极化强度：用p表示极化的程度，即式中

6、：N为单位体积内被极化的分子数◇极化体电荷◇由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。◇极化面电荷（为介质表面外法线方向的单位矢量）小圆柱侧面积，h为无穷小量，该面积趋于零一、电位移矢量D的边界条件nh将电场基本方程用于所作的圆柱形表面。设两种不同的电介质，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为，h为无穷小量。方程左边电位移矢量D的边界条件用矢量表示方程右边为分界面上的自由电荷面密度二、电场强度E的边界条件（其中为回路所围面积的法线方向）因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意

7、的，因而有电场强度E的边界条件：或表示为在分界面上作一小的矩形回路，其两边分居于分界面两侧，而高。将方程用于此回路介质分界面两侧电场强度的切向分量连续对于电位由由例3.9.1半径分别为a和b的同轴线，外加电压U。圆柱电极间在图示角部分填充介电常数为的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例3.9.2)解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系，待求函数，在圆柱坐标系下于是电位满足的拉普拉斯方程其通解为同理其中系数A、B、C、D可由边界条件确定边界条件于是由此可知内导体表面单位长度的电荷由内导体和区域1的边界条件由内导体和区域2的边界条件得同轴线单位长度上的电容3

8、.1.3导