角平分线的性质定理和判定.doc

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1、课题11-4角平分线的性质定理和判定学生姓名年级八年级日期2012.9.22冯晓娟第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：自我评测知识点掌握情况备注非常好一般有待提高角平分线的定义角平分线的性质定理角平分线的判定定理角平分线的作图第三部分：例题剖析例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC∠C=9

2、0°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC．（2）求△DBE的周长．分析：（1）因为AC=BC=BD+CD，只要证明CD=DE即可，又因为AD平分∠BAC，则CD=DE；（2）由（1）可知AC=BD+DE，由CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，可证△ACD≌△AED，则AC=AE，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB．解答：解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∴第17页共17页BC=BD+CD=BD

3、+DE，AC=BC，∴AC=BD+DE；（2）∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，∴△ACD≌△AED，∴AC=AE，∵AC=BD+DE，∴BD+DE=AE，∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．分析：首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠

4、DAB．解答：证明：作ME⊥AD，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．例3.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？第17页共17页．分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．解答

5、：解：如图，连接OA，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×22×3=33．故答案为：33．第四部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．∵AO平分∠BAC，∴∠1=∠2．在△AOD和△AOE中，∠ADC＝∠AEB∠1＝∠2OA

6、＝OA，∴△AOD≌△AOE（AAS）．∴OD=OE．在△BOD和△COE中，∠BDC＝∠CEBOD＝OE∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB=OC．第17页共17页【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．解答：证明

7、：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中PA＝PCPE＝PF∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠B

8、AD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．3）CD、AB、AD间？直接写出结果首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同