不等式恒成立问题解法探讨.doc

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1、不等式恒成立问题解法探讨我们经常会碰到：“已知一不等式关于某一变量在给定区间内任意变化时恒成立，求另一参变量取值范围”的题目。本文试就此类问题做一解法探讨。例1.已知，求使不等式对任意恒成立的a的取值范围。解法1：数形结合结合函数的草图可知时恒成立。所以a的取值范围是。解法2：转化为最值研究1.若上的最大值。2.若，得，所以。综上：a的取值范围是。注：1.此处是对参a进行分类讨论，每一类中求得的a的范围均合题意，故对每一类中所求得的a的范围求并集。2.恒成立；解法3：分离参数。设，则，当时。（当且仅当）则上单调递增。所以。注：1.运用此法最终仍归结为求函数的最值，但由于将参

2、数a与变量x分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。2.本题若将“”改为“”可类似上述三种方法完成。仿解法1：即3读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处也合题。例2.已知：求使恒成立的a的取值范围。解法1：数形结合结合的草图可得：或得：。解法2：转化为最值研究1.，所以。2.若矛盾。3.若矛盾。综上：a的取值范围是。解法3：分离参数1.时，不等式显然成立，即此时a可为任意实数；2.时，。因为上单调递减，所以；3.时，。因为在（0，1）上单调递减，所以。综上：a的范围是：。注：本题中由于x的取值可正可负，不便对参数a直接分离，故采取了先对x分类，

3、再分离参数a，最后对各类中求得a的范围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a的范围求并集是不同的，应引起注意！例3.已知：，求使对任意恒成立的x的取值范围。3解：习惯上视x为主元而a为辅元，但本题中是a在上任意变化时不等式恒成立，故可将a视为主元。变更主元法：设，则的图像为一直线，则时恒成立即x的范围是：总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元相当于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。若易于将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。3