圆锥曲线之椭圆题库2 含详解 高考必备.doc

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1、51如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN；（3）（理科）求三角形ABF面积的最大值。解（1）（2）当AB的斜率为0时，显然满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得则综上可知：恒有（3）（理科）30当且仅当（此时适合△＞0的条件）取得等号.三角形ABF面积的最大值是352设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.解：设P（x，y）

2、是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立并消元得：（4+k2）x2+2kx－3=0，x1+x2=－y1+y2=，由得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），即：消去k得：4x2+y2－y=0当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2－y=0．53已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求△面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意∴，∴所求椭圆方程为．30（Ⅱ）设，．

3、（1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知，得．把代入椭圆方程，整理得，，．．当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．·当最大时，面积取最大值．54已知向量，经过定点且方向向量为的直线与经过定点且方向向量为的直线交于点M，其中R，常数a>0.（1）求点M的轨迹方程；（2）若，过点的直线与点M的轨迹交于C、D两点，求的取值范围.设点，又∥，∥30故，消去参数，整理得点Ｍ的轨迹方程为（除去点）（2）由得点M轨迹方程为（除去点），若设直线CD的方程为，，，则由消去y得，显然，于是，设，因此，即若直线轴，则，于是，综上可知55如图，已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A

4、，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E.（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求的值；（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由.解：（1）易知30（2）设又由同理…（3）先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点…证明：设当m变化时首先AE过定点N30A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线∴AE与B

5、D相交于定点56已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且

6、PF

7、、

8、MF

9、、

10、QF

11、成等差数列。（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；（3）设点A关于原点O的对称点是B，求

12、PB

13、的最小值及相应点P的坐标。解：（1）设椭圆的方程为，由已知，得，解得所以椭圆的标准方程为…………3分（2）证明：设。由椭圆的标准方程为，可知30同理∵，∴∴①当时，由，得从而有设线段的中点为，由得线段的中垂线方程为∴，该直线恒过一定点②当时，或线段的中垂线是轴，也过点，∴线段的中垂线过点（3）由，得。又，∴∴时，点的坐标为57在直角坐标系中，已知

14、椭圆的离心率e＝30，左右两个焦分别为．过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且

15、MN

16、=1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：（2分）∵，∴，（4分）又得∴∴，∴所求椭圆C的方程为．(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为则，,由－4得－，∴点P的轨迹方程为.设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，解得：，∵点在椭圆上，∴，整理得解得或∴点P的轨迹方程为或，经检验和都符合题设，∴满足条件的点P的轨

17、迹方程为或．3058椭圆：的两个焦点为、，点在椭圆上，且，且，.（1）求椭圆的方程.（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程.解：(1)又（2）即59在直角坐标平面内，已知点，是平面内一动点，直线、斜率之积为.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.30解:(Ⅰ)设点的坐标为，依题意，有.化简并整理，得.∴动点的轨迹的方程是.(Ⅱ)解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为,由方程组消去，并整理得设