圆锥曲线之抛物线题库 含详解 高考必备

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1、5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB过轴上一点，斜率为，两端点A，B到轴距离之差为，（1）求以O为顶点，轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；解：（1）设抛物线方程为，AB的方程为，联立消整理，得；∴，又依题有，∴，∴抛物线方程为；（2）设，，，∵，∴的方程为；∵过，∴，同理∴为方程的两个根；∴；又，∴的方程为∴，显然直线过点已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上,且满足，.（Ⅰ）⑴当点

2、P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设为轨迹C上两点，且，N(1,0)，求实数，使，且.解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由得P(0，)，Q().由得(3，)·(，)＝0,即又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.……6分（Ⅱ）解法一：由题意可知N为抛物线C:y2＝4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。当直线AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，

3、AB

4、，不合题意；………7分当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入得则

5、AB

6、,解得…………………10分代入原方程得，由于，所以,由，得.10、(北京市崇文

7、区2008年高三统一练习一)已知抛物线，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0.（I）求抛物线C的焦点坐标；（II）若点M满足，求点M的轨迹方程.解：（I）将P（1，－1）代入抛物线C的方程得a=－1，∴抛物线C的方程为，即焦点坐标为F（0，－）.……………………………………4分（II）设直线PA的方程为，联立方程消去y得则由………………7分同理直线PB的方程为联立方程消去y得则又…………………………9分设点M的坐标为（x，y），由

8、又…………………………………………11分∴所求M的轨迹方程为：15、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（II）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点．设椭圆的方程：．解方程组得C（-1，2），D（1，-2）．由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴，，∴．…………2分∴又，因此，，解得并推得．故椭圆的方程为．…………4分（Ⅱ），圆过点

9、O、，圆心M在直线上．设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，∴由得解得所求圆的方程为…………………………8分（Ⅲ）由①若垂直于轴，则，，…………………………………………9分②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为由得，方程有两个不等的实数根．设，.,………………………………11分=，所以当直线垂于轴时，取得最大值当直线与轴重合时，取得最小值25、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，

10、使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得．由韦达定理得，．NOACByx于是．，当时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，NOACByxl则，点的坐标为．，，，．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得．从而，当时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程

11、代入得，则．设直线与以为直径的圆的交点为，则有．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线的距离小1。（1）求曲线C的方程；（2）过点①当的方程；②当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求的值。（1）解法一：设，…………1分即当；…………3分当…………4分化简得不合故点M的轨迹C的方程是…………5分（1）解法二：的距离小于1，∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线的距离相等…………3分所以曲线

12、C的方程为…………5分（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线m的方程为，代入（☆）…………6分与曲线C恒有两个不同的交